每日一题[3182]类等比数列

数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_0=0$，$a_n=\dfrac{1}{2}\left(3 a_{n-1}+\sqrt{5 a_{n-1}^2+4}\right)$（$n \geqslant 1$）．证明：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续的三项 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$，其两两的乘积加 $1$ 的值皆是正整数的平方．

解析    根据题意，有

$$2a_n-3a_{n-1}=\sqrt{5a_{n-1}^2+4},$$ 两边平方整理得 $$a_n^2-3a_na_{n-1}+a_{n-1}^2=1,$$ 因此 $$a_{n+1}^2-3a_{n+1}a_n+a_n^2=1,$$ 两式相减整理（或将 $a_{n-1},a_{n+1}$ 看成是关于 $x$ 的方程 $x^2-3a_nx+a_n^2=1$ 的两根，可得 $$a_{n-1}+a_{n+1}=3a_n\iff a_{n+1}=3a_n-a_{n-1},$$ 而 $a_0=0$，$a_1=1$，因此该数列的各项均为自然数．

将递推公式变形为

$$a_{n+1}a_n+1=(a_{n+1}-a_n)^2,$$ 即得 $a_na_{n+1}+1,a_{n+1}a_{n+2}+1$ 是正整数的平方．

当 $n\geqslant 2$ 时，将递推公式变形为

$$\dfrac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n}=\dfrac{a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}=\cdots=3,$$ 可得 $$a_{n+1}a_{n-1}+a_{n-1}^2=a_n^2+a_na_{n-2}\implies a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}=a_{n-1}^2-a_na_{n-2}=\cdots=a_1^2-a_0a_2=1,$$ 因此可得 $$a_{n+1}a_{n-1}+1=a_n^2,$$ 因此 $a_{n+1}a_{n-1}+1$ 是正整数的平方．

综上所述，命题得证．