每日一题[3181]几何计数

$P$ 是单位正方体内部或表面上的点，满足条件：

① 正方体有一条棱的两个端点到 $P$ 的距离分别是 $\dfrac{8}{15}$ 与 $\dfrac{17}{15}$；

② 正方体中至少有两个顶点到 $P$ 的距离相等．

试求同时满足上述条件的点 $P$ 的个数．

答案    $144$．

解析    考虑条件 ①，设 $|PA|=\dfrac8{15}$，$|PB|=\dfrac{17}{15}$，则有

$$|PB|^2=|PA|^2+|AB|^2,$$ 因此 $BP\perp AB$，因此条件 ① 即点 $P$ 在单位正方体的表面上．

考虑条件 ②，设 $|PM|=|PN|$，则 $P$ 在线段 $MN$ 的中垂面上，而 $MN$ 可能是棱、面对角线或体对角线，它们在正方体的一个底面上的截线如图所示．

由于 $\dfrac 12<\dfrac 8{15}<\dfrac{\sqrt 2}2$，于是每个面上的点的个数为（棱上的点按 $0.5$ 个计算）：

$$(5+2\cdot 0.5)\cdot 4=24,$$ 因此所求点 $P$ 的个数为 $24\cdot 6=144$．