每日一题[3178]二次分式函数的“判别式”

函数 $f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1}$ 的单调递增区间是_______．

答案    $(-1,1)$．

解析    函数 $f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+0x+1}$，于是\[\Delta=-2x^2+0x+2=-2(x+1)(x-1),\]函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上单调递增．

备注    一般的，函数 $f(x)=\dfrac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$ 的“等效判别式”为\[\Delta=(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+(b_1c_2-b_2c_1).\]