每日一题[3174]寻找奇环

把集合 $A=\{1011,1012, \cdots, 2022\}$ 任意划分为两个不交的非空子集．证明：至少有一个子集中包含两个数，这两个数之和为完全平方数．

解析    用 $1012$ 个点表示这些数，如果两个数之和为完全平方数，则在它们对应的点之间连线，得到一个包含 $1012$ 个节点的无向图．问题转化为在这个无向图中不存在长度为奇数的环． 尝试证明存在长度为 $3$ 的环，即

$$\begin{cases} a+b=x^2,\\ b+c=y^2,\\ c+a=z^2,\end{cases}$$ 不妨设 $a<b<c$，于是 $x<z<y$，考虑到集合 $A$ 中的数两两之和的取值集合为 $\{2023,2024,\cdots,4043\}$，因此 $x,y,z\in\{45,46,\cdots,63\}$．此时适当的取 $x,y,z$，解出符合要求的 $a,b,c$ 即可，如取 $(x,y,z)=(47,49,48)$，则 $(a,b,c)=(1056,1153,1248)$ 就完成了证明．

备注    因为 $x^2+y^2+z^2$ 是偶数，所以 $x,y,z$ 为三偶数或者二奇一偶，也可以设

$$(x,y,z)=(2k-1,2k+1,2k),(2k-2,2k+2,2k),$$ 则对应 $$(a,b,c)=(2k^2-4k,2k^2+1,2k^2+4k),(2k^2-8k,2k^2+4,2k^2+8k),$$ 然后取 $k$ 的合适的值即可．