每日一题[3173]举步维艰

已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $100$ 项，满足 $a_1=0$，$a_{100} = 475$，且 $\left|a_{k+1}-a_k\right|=5$（$k=1,2,3,\cdots,99$），则符合条件的不同数列有_______个．

答案    $4851$．

解析    注意到 $a_{k+1} - a_k = 5$ 或 $-5$，而

$$a_{100} = (a_{100}-a_{99})+(a_{99}-a_{98})+\cdots+(a_2-a_1)=475.$$ 设 $99$ 个差中有 $x$ 个 $5$，则有 $(99-x)$ 个 $-5$，故 $$5x+(-5)(99-x)=475, x=97.$$ 于是，所求数列的 $99$ 个差 $a_{k+1}-a_k(k=1,2,\cdots,99)$ 中，有 $97$ 个 $5$，$2$ 个 $-5$，由于这 $97$ 个 $5$，$2$ 个 $-5$ 的每一个排列均唯一对应一个满足条件的数列，从而所求数列的个数为 $\rm C_{99}^2 = 4851$．