每日一题[3172]强制抵消

已知函数 $f(x)$ 满足：对任意实数 $x,y$，有

$$f(x y)+f(y-x) \geqslant f(x+y) ,$$ 求证：对于任意实数 $x$，均有 $f(x) \geqslant 0$．

解析    令 $xy=x+y$，即

$$(x-1)(y-1)=1,$$ 设 $x=1+t$，$y=1+\dfrac 1t$，则 $$f\left(t-\dfrac 1t\right)\geqslant 0,$$ 又任意实数 $x$ 都可以表示为 $t-\dfrac 1t$ 的形式，因此命题得证．