每日一题[3171]引入参数

已知 $0<x, y<\dfrac{\pi}{2}$，则 $f=\dfrac{9}{\sin ^2 x}+\dfrac{1}{\cos x \cos ^2 y \sin ^2 y}$ 的最小值是_______．

答案    $20$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} f&=\dfrac 9{\sin^2x}+\dfrac{4}{\cos x\sin^2(2y)}\\ &\geqslant \dfrac9{\sin^2x}+\dfrac{4}{\cos x}\\ &=\dfrac{9}{1-\cos^2x}+\dfrac{4}{\cos x}\\ &\geqslant \dfrac{(3+2\lambda)^2}{1-\cos^2x+\lambda^2\cos x}\\ &\geqslant \dfrac{(3+2\lambda)^2}{1+\dfrac14\lambda^4},\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} \dfrac{3}{1-\cos^2x}=\dfrac{2\lambda}{\lambda^2\cos x},\\ \cos x=\dfrac12\lambda^2,\end{cases}\iff \begin{cases} \lambda=1,\\ \cos x=\dfrac 12,\end{cases}$$ 时取得，因此所求最小值为 $20$．