每日一题[3165]迭代函数

已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=\lambda a_n^2+2$（$n \in \mathbb{N}^{+}$），若数列 $\left\{a_n\right\}$ 有上界，即存在常数 $M>0$，使得 $a_n \leqslant M$ 对 $n \in \mathbb{N}^{+}$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac 18$．

解析    设迭代函数 $f(x)=\lambda x^2+2$，则不动点方程为

$$\lambda x^2-x+2=0,$$ 其判别式 $\Delta=1-8\lambda$． 当 $\lambda>\dfrac 18$ 时，有 $$a_{n+1}-a_n=\lambda a_n^2-a_n+2=\left(\sqrt \lambda a_n -\dfrac {1}{2\sqrt \lambda}\right)^2+2-\dfrac{1}{4\lambda} ,$$ 因此 $\{a_n\}$ 无上界，不符合题意． 当 $\lambda=\dfrac 18$ 时，对应不动点为 $x=4$，因此 $$a_{n+1}-4=\dfrac 18(a_n+4)(a_n-4),$$ 因此 $\{a_n\}$ 有上界 $4$，符合题意． 综上所述，实数 $\lambda$ 的最大值为 $\dfrac 18$．