设递推数列 {xn} 满足：xn+1=x2n−4xn, n=1,2,⋯，如果对任意的首项 x1∈R 且 x1≠0，数列中一定存在某项 xk⩾m，则 m 的最大值为 _______．
答案 3+√212．
解析 设迭代函数 f(x)=x2−4x，则对应的不动点为 x=0,5．考虑其二阶不动点，解方程组（α>β）：{α2−4α=β,β2−4β=α,⟺{α2+β2=5(α+β),α+β=3,⟺{α=3+√212,β=3−√212,
于是取 x1=β，则 xn∈{α,β}，从而 m⩽α． 接下来证明 m=α 符合题意．用反证法，若数列 {xn} 中任何项都小于 α，则4−α<xk<α, k∈N∗,
于是xn+1−xn=x2n−5xn∈[−254,(4−α)2−5(4−α)),
记 t=(4−α)2−5(4−α)，则 t<0，且xn+1<x1+nt,
这与数列 {xn} 有下界 4−α 矛盾，因此 m 的最大值为 α=3+√212．