方程 $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{3}$ 有______组整数解．
答案 $14$．
解析 先解不定方程 $\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c=\dfrac 43$，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则由于 $\dfrac 1a,\dfrac 1b,\dfrac 1c\leqslant 1$，于是 $b>0$．
情形一 $a\geqslant b\geqslant c>0$．此时\[\dfrac 43=\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\leqslant \dfrac 3c\implies c=1,2,\] 若 $c=1$，则\[\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 13\iff ab=3a+3b\iff (a-3)(b-3)=9,\]解得 $(a-3,b-3)=(9,1),(3,3)$，于是\[(a,b,c)=(12,4,1),(6,6,1),\]对应原方程的整数解有 $8+2=10$ 组． 若 $c=2$，则\[\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 56\iff 5ab=6a+6b\iff (5a-6)(5b-6)=36,\]无解．
情形二 $a\geqslant b>0>c$．此时\[\dfrac 43=\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c<\dfrac 2b\implies b=1,\]于是\[\dfrac 1a+\dfrac 1c=\dfrac 13\iff ac=3a+3c\iff (a-3)(c-3)=9,\]解得 $(a-3,c-3)=(-1,-9)$，于是\[(a,b,c)=(2,1,-6),\]对应原方程的整数解有 $4$ 组．
综上所述，原方程的整数解有 $14$ 组．