每日一题[3158]抓大放小

方程 $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{4}{3}$ 有______组整数解．

答案    $14$．

解析    先解不定方程 $\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c=\dfrac 43$，不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则由于 $\dfrac 1a,\dfrac 1b,\dfrac 1c\leqslant 1$，于是 $b>0$．

情形一     $a\geqslant b\geqslant c>0$．此时 $$\dfrac 43=\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c\leqslant \dfrac 3c\implies c=1,2,$$ 若 $c=1$，则 $$\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 13\iff ab=3a+3b\iff (a-3)(b-3)=9,$$ 解得 $(a-3,b-3)=(9,1),(3,3)$，于是 $$(a,b,c)=(12,4,1),(6,6,1),$$ 对应原方程的整数解有 $8+2=10$ 组． 若 $c=2$，则 $$\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 56\iff 5ab=6a+6b\iff (5a-6)(5b-6)=36,$$ 无解．

情形二     $a\geqslant b>0>c$．此时 $$\dfrac 43=\dfrac 1a+\dfrac 1b+\dfrac 1c<\dfrac 2b\implies b=1,$$ 于是 $$\dfrac 1a+\dfrac 1c=\dfrac 13\iff ac=3a+3c\iff (a-3)(c-3)=9,$$ 解得 $(a-3,c-3)=(-1,-9)$，于是 $$(a,b,c)=(2,1,-6),$$ 对应原方程的整数解有 $4$ 组．

综上所述，原方程的整数解有 $14$ 组．