每日一题[3153]左右夹逼

已知函数 $f: \mathbb R \to \mathbb R$，使得任取实数 $x, y, z$ 都有

$$f(x y)+f(x z)-2 f(x) f(y z) \geqslant \dfrac{1}{2},$$ 则 $[1 \cdot f(1)]+[2 \cdot f(2)]+\cdots+[2022 \cdot f(2022)]=$ _______．（其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）．

答案    $1022121$．

解析    分别取 $x,y,z\to 0$ 和 $x,y,z\to 1$，有

$$\begin{cases} 2f(0)-2f^2(0)\geqslant\dfrac 12,\\ 2f(1)-2f^2(1)\geqslant \dfrac 12,\end{cases}\implies f(0)=f(1)=\dfrac 12,$$ 分别令 $y,z\to 0$ 以及 $y,z\to 1$，有 $$\begin{cases} 1-f(x)\geqslant \dfrac 12,\\ f(x)\geqslant \dfrac 12,\end{cases}\implies f(x)=\dfrac 12,$$ 因此 $$\sum_{k=1}^{2022}\big[k\cdot f(k)\big]=\sum_{k=1}^{2022}\left[\dfrac k2\right]=\sum_{k=1}^{1011}\left(\left[\dfrac {2k-1}2\right]+\left[\dfrac{2k}2\right]\right)=\sum_{k=1}^{1011}(2k-1)=1011^2=1022121.$$