每日一题[158] 分步加工

2015年高考湖南卷理科数学第10题（选择压轴题）、文科数学第10题与之类似：

某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（        ）

A．$\dfrac 8{9\pi}$

B．$\dfrac{16}{9\pi}$

C．$\dfrac{4\left(\sqrt 2-1\right)^3}{\pi}$

D．$\dfrac{12\left(\sqrt 2-1\right)^3}{\pi}$

---

正确答案是A，

为了能够从圆锥形的工料中加工出长方体形的工件，需要首先将圆锥加工成一个圆柱，然后从圆柱中加工成长方体，如图．

因此，我们可以分两步计算工料的材料利用率，如图．

设圆柱的高为$h$，则第一步的材料利用率为

$$\dfrac{\pi\left(1-\dfrac 12h\right)^2\cdot h}{\dfrac 23\pi}\leqslant \dfrac 49,$$ 等号当且仅当$1-\dfrac 12h=h$，即$h=\dfrac 23$时取得（这里用到了三元的均值不等式）．

另一方面，我们熟知第二步的材料利用率最高为$\dfrac 2\pi$．

综上，工料的材料利用率最高为

$$\dfrac 49\times\dfrac 2\pi=\dfrac{8}{9\pi}.$$