每日一题[3149]天网难笼

如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，$O_{1}, O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，$O$ 为球心，$CD,EF$ 分别为底面圆 $O_{1},O_2$ 的一条直径，若球的半径 $r=2$，则（        ）

A．球与圆柱的体积之比为 $2: 3$

B．四面体 $C D E F$ 的体积的取值范围为 $(0,32]$

C．平面 $D E F$ 截得球的截面面积最小值为 $\dfrac{4 \pi}{5}$

D．若 $P$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $|PE|+|PF|$ 的取值范围为 $\left[2+2 \sqrt{5},4 \sqrt{3}\right]$

答案    AD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，球与圆柱的体积之比为

$$\dfrac{\dfrac{4\pi}3\pi r^3}{\pi r^2\cdot 2r}=\dfrac 23,$$ 命题正确． 对于选项 $\boxed{B}$，四面体 $CDEF$ 的体积为 $$[CDEF]=\dfrac 16\cdot |CD|\cdot |EF|\cdot d(CE,EF)\cdot \sin\langle CD,EF\rangle=\dfrac{32}3\sin\langle CD,EF\rangle,$$ 因此所求取值范围是 $\left(0,\dfrac{32}3\right]$，命题错误． 对于选项 $\boxed{C}$，设 $D$ 在另一个底面上的投影为 $M$，$M$ 在 $EF$ 上的投影的为 $N$，$|MN|=x$，则 $|DM|=4$，有 $$\begin{split} d(O,DEF)&=\dfrac 12d(O_1,DEF)\\ &=\dfrac 12\cdot \dfrac{[\triangle O_1EF]}{[\triangle DEF]}\cdot d(D,O_1EF)\\ &=\dfrac 12\cdot \dfrac{\dfrac 12\cdot 4\cdot 4}{\dfrac 12\cdot 4\cdot \sqrt{x^2+4^2}}\cdot x\\ &=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+16}},\end{split}$$ 其中 $x$ 的取值范围是 $[0,2]$，因此 $d(O,DEF)$ 的取值范围是 $\left[0,\dfrac{2}{\sqrt 5}\right]$，从而平面 $D E F$ 截得球的截面面积 $$S=\pi \left(r^2-d^2(O,DEF)\right)$$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{16\pi}5,4\pi\right]$，命题错误． 对于选项 $\boxed{D}$，设 $P$ 在底面上的投影为 $Q$，则 $$|QE|^2+|QF|^2=|EF|^2=16,$$ 而 $$|PE|+|PF|=\sqrt{|QE|^2+|PQ|^2}+\sqrt{|QF|^2+|PQ|^2}=\sqrt{12+x}+\sqrt{12-x}=\sqrt{24+2\sqrt{144-x^2}},$$ 其中 $|QE|^2=8+x$，$x\in[-8,8]$，从而 $|PE|+|PF|$ 的取值范围是 $\left[2+2\sqrt 5,4\sqrt 3\right]$，命题正确． 综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$ 正确．