每日一题[3148]上下两分

已知正四棱锥 $O-A B C D$ 的底面边长为 $\sqrt{6}$，高为 $3$．以点 $O$ 为球心，$\sqrt{2}$ 为半径的球 $O$ 与过点 $A, B, C, D$ 的球 $O_1$ 相交，相交圆的面积为 $\pi$，则球 $O_1$ 的半径可能为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$

B．$\sqrt{3}$

C．$\sqrt{6}$

D．$\dfrac{\sqrt{97}}{4}$

答案    AD．

解析    设正四棱锥的底面中心为 $O_2$，$\overline{O_2O}=3$，$\overline{O_2O_1}=h$，球 $O_1$ 的半径为 $\sqrt{3+h^2}$，相交圆的圆心为 $O_3$，于是 $|O_1O_3|=\sqrt{2+h^2}$，且 $\overline{OO_3}=\pm 1$，如图．

因此

$$h+\sqrt{2+h^2}=2,~\text{或}~h+\sqrt{2+h^2}=4,$$ 解得 $h=\dfrac 12$ 或 $\dfrac 74$，从而球 $O_1$ 的半径 $\sqrt{3+h^2}=\dfrac{\sqrt{13}}2$ 或 $\dfrac{\sqrt{97}}4$．