一部电视连续剧共有 n+1（n⩾10）集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：
① 从看完第一集后的第一天算起，把余下的 n 集电视剧随机分配在 2n 天内；
② 每天要么不看，要么看完完整的一集；
③ 每天至多看一集． 已知这部电视剧最 精彩的部分在第 n 集，
设该同学观看第一集后的第 X 天观看该集．
1、写出 X 的分布列，并证明：最有可能在第 (2n−2) 天观看最精彩的第 n 集．
2、求 E(X)．
解析
1、根据题意，有Xn−1nn+1⋯k⋯2n−1PCn−2n−2C1n+1Cn2nCn−2n−1C1nCn2nCn−2nC1n−1Cn2n⋯Cn−2k−1C12n−kCn2n⋯Cn−22n−2C11Cn2n
而P(X=k+1)P(X=k)=Cn−2kC12n−k−1Cn−2k−1C12n−k=k(2n−k−1)(k−n+2)(2n−k)=1−(n−1)⋅k−2n(n−2)n−1(k−n+2)(2n−k)=1−(n−1)⋅k−2(n−1)+2n−1(k−n+2)(2n−k),
因此 P(X=k) 的最大值当 k=2n−2 时取得．
2、根据第 (1) 小题的结果，有E(X)=1Cn2n2n=1∑k=n−1k(2n−k)Cn−2k−1=n−1Cn2n2n−1∑k=n−1(2n−k)Cn−1k=n−1Cn2n⋅Cn+12n+1=2n2−n−1n+1,
其中考虑从 (2n+1) 个格子中选择 (n+1) 个物品（每个格子都装有 1 个物品），设倒数第二个物品在第 (k+1) 格，在前 k 格中选择 (n−1) 个物品，在后 (2n−k) 格中选 1 个物品分类奇数，即可得2n−1∑k=n−1(2n−k)Cn−1k=Cn+12n+1.
