一部电视连续剧共有 $n+1$（$n \geqslant 10$）集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：
① 从看完第一集后的第一天算起，把余下的 $n$ 集电视剧随机分配在 $2 n$ 天内；
② 每天要么不看，要么看完完整的一集；
③ 每天至多看一集． 已知这部电视剧最 精彩的部分在第 $n$ 集，
设该同学观看第一集后的第 $X$ 天观看该集．
1、写出 $X$ 的分布列，并证明：最有可能在第 $(2 n-2)$ 天观看最精彩的第 $n$ 集．
2、求 $E(X)$．
解析
1、根据题意，有\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline X&n-1&n&n+1&\cdots&k&\cdots&2n-1\\ \hline P&\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{n-2}^{n-2}\mathop{\rm C}\nolimits_{n+1}^1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n}&\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{n-1}^{n-2}\mathop{\rm C}\nolimits_{n}^1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n}&\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{n}^{n-2}\mathop{\rm C}\nolimits_{n-1}^1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n}&\cdots&\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{k-1}^{n-2}\mathop{\rm C}\nolimits_{2n-k}^1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n}&\cdots&\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n-2}^{n-2}\mathop{\rm C}\nolimits_{1}^1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n}\\ \hline\end{array}\]而\[\begin{split}\dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)}&=\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{k}^{n-2}\mathop{\rm C}\nolimits_{2n-k-1}^1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{k-1}^{n-2}\mathop{\rm C}\nolimits_{2n-k}^1}\\ &=\dfrac{k(2n-k-1)}{(k-n+2)(2n-k)}\\ &=1-(n-1)\cdot \dfrac{k-\dfrac{2n(n-2)}{n-1}}{(k-n+2)(2n-k)}\\ &=1-(n-1)\cdot \dfrac{k-2(n-1)+\dfrac{2}{n-1}}{(k-n+2)(2n-k)},\end{split}\]因此 $P(X=k)$ 的最大值当 $k=2n-2$ 时取得．
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[\begin{split} E(X)&=\dfrac{1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n}\sum_{k=n-1}^{2n=1}k(2n-k)\mathop{\rm C}\nolimits_{k-1}^{n-2}\\ &=\dfrac{n-1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n}\sum_{k=n-1}^{2n-1}(2n-k)\mathop{\rm C}\nolimits_{k}^{n-1}\\ &=\dfrac{n-1}{\mathop{\rm C}\nolimits_{2n}^n}\cdot\mathop{\rm C}\nolimits_{2n+1}^{n+1}\\ &=\dfrac{2n^2-n-1}{n+1},\end{split}\]其中考虑从 $(2n+1)$ 个格子中选择 $(n+1)$ 个物品（每个格子都装有 $1$ 个物品），设倒数第二个物品在第 $(k+1)$ 格，在前 $k$ 格中选择 $(n-1)$ 个物品，在后 $(2n-k)$ 格中选 $1$ 个物品分类奇数，即可得\[\sum_{k=n-1}^{2n-1}(2n-k)\mathop{\rm C}\nolimits_{k}^{n-1}=\mathop{\rm C}\nolimits_{2n+1}^{n+1}.\]
