每日一题[3145]双对称

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，若函数 $f(2 x+1)$ 为奇函数，且 $f(4-x)=f(x)$，$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2023} f(k)=1$，则 $f(0)=$ （        ）

A．$-1$

B．$0$

C．$1$

D．$2$

答案    A．

解析    函数 $f(2 x+1)$ 为奇函数且 $f(4-x)=f(x)$，于是自变量和为 $2$ 时函数值互为相反数，自变量和为 $4$ 时函数值相等，从而 $4$ 是函数 $f(x)$ 的周期，且

$$f(1)=f(3)=0,\quad f(0)+f(2)=0,\quad ,$$ 因此 $$\sum\limits_{k=1}^{2023}f(k) =\sum\limits_{k=0}^{2023}f(k)-f(0)=-f(0),$$ 因此 $f(0)=-1$．