每日一题[3144]数值估计

函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x+1}$ 在区间 $[t,+\infty)$（$t \in \mathbb{N}^{*}$）上存在极值，则 $t$ 的最大值为（       ）

A．$2$

B．$3$

C．$4$

D．$5$

答案    B．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{1+\dfrac 1x-\ln x}{(1+x)^2},$$ 其分子 $g(x)=1+\dfrac 1x-\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，而 $$g(3)=\dfrac 43-\ln 3>0>\dfrac 54-\ln 4=g(4),$$ 其中用到了 $$\ln 3<\dfrac 12\left(3-\dfrac 13\right)=\dfrac 43,\quad \ln 4=2\ln 2>2\cdot \dfrac{2(2-1)}{2+1}=\dfrac 43>\dfrac 54,$$ 因此函数 $f(x)$ 存在唯一极值点 $x_0\in (3,4)$，因此 $t$ 的最大值为 $3$．