每日一题[3142]折叠单调

对于定义在区间 $D$ 上的函数 $f(x)$，若满足：$\forall x_{1},x_{2} \in D$ 且 $x_{1}<x_{2}$，都有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{2}\right)$，则称函数 $f(x)$ 为区间 $D$ 上的“非减函数”，若 $f(x)$ 为区间 $[0,2]$ 上的“非减函数”，且 $f(2)=2$，$f(x)+f(2-x)=2$，又当 $x \in\left[\dfrac{3}{2}, 2\right]$ 时，$f(x) \leqslant 2(x-1)$ 恒成立，下列命题中正确的有（       ）

A．$f(1)=1$

B．$\exists x_{0} \in\left[\dfrac{3}{2}, 2\right], ~f\left(x_{0}\right)<1$

C．$f\left(\dfrac{1}{4}\right)+f\left(\dfrac{2}{3}\right)+f\left(\dfrac{25}{18}\right)+f\left(\dfrac{7}{4}\right)=4$

D．$\forall x \in\left[0, \dfrac{1}{2}\right], \quad f(f(x)) \leqslant-f(x)+2$

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，在 $f(x)+f(2-x)=2$ 中令 $x=1$，可得 $f(1)=1$，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，由于当 $x \in\left[\dfrac{3}{2}, 2\right]$ 时，$f(x) \leqslant 2(x-1)$ 恒成立，从而

$$f\left(\dfrac 32\right)\leqslant 2\left(\dfrac 32-1\right)=1,$$ 又函数 $f(x)$ 为区间 $D$ 上的“非减函数”，从而 $$f\left(\dfrac 32\right)\geqslant f(1)=1,$$ 因此 $f\left(\dfrac 32\right)=1$，进而当 $x\in\left[\dfrac 32,2\right]$ 时，有 $$f(x)\geqslant f\left(\dfrac 32\right)=1,$$ 选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，由 $f\left(\dfrac 32\right)=f\left(\dfrac 12\right)=1$，结合 $f(x)$ 是非减函数，可得

$$f(x)=1,~x\in\left[\dfrac 12,\dfrac 32\right],$$ 从而 $$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(\dfrac{25}{18}\right)=1,$$ 而 $f\left(\dfrac 14\right)+f\left(\dfrac 34\right)=1$，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，由 $f\left(\dfrac 12\right)=1$，可得当 $x\in\left[0,\dfrac 12\right]$ 时，有

$$f(x)\leqslant f\left(\dfrac 12\right)=1,$$ 从而 $$f(f(x))\leqslant f(1)=1\leqslant -f(x)+2,$$ 选项正确．

综上所述，正确的选项为$\boxed{A}$$\boxed{C}$$\boxed{D}$．