每日一题[3137]强配柯西

已知 $\triangle A B C$ 满足 $A B=A C=1$，$\triangle A B C$ 所在平面内一动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+2 \mu \overrightarrow{A C}$（$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$），且 $|A P|=1$，若 $\lambda+\mu \leqslant \dfrac{2 \sqrt{10}}{5}$ 恒成立，则 $\cos A$ 的最小值为（       ）

A．$-\dfrac{1}{4}$

B．$-\dfrac{1}{3}$

C．$-\dfrac{1}{2}$

D．$0$

答案    A．

解析    由 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}+2 \mu \overrightarrow{A C}$ 可得 $$1=\lambda^2+4\lambda\mu\cos A+4\mu^2,$$ 从而 $$\left(\lambda +2\mu\cos A\right)^2+(2\mu\sin A)^2=1,$$ 因此 $$\lambda+\mu=(\lambda +2\mu\cos A)+ \dfrac{1-2\cos A}{2\sin A}\cdot 2\mu\sin A\leqslant \sqrt{1+\left(\dfrac{1-2\cos A}{2\sin A}\right)^2},$$ 从而 $\lambda+\mu$ 的最大值为 $\sqrt{1+\left(\dfrac{1-2\cos A}{2\sin A}\right)^2}$，根据题意，有 $$\sqrt{1+\left(\dfrac{1-2\cos A}{2\sin A}\right)^2}\leqslant \dfrac{2\sqrt{10}}5\iff \dfrac{(1-2\cos A)^2}{4(1-\cos^2 A)}\leqslant \dfrac 35 \iff -\dfrac14\leqslant \cos A\leqslant \dfrac 78,$$ 因此 $\cos A$ 的最小值为 $-\dfrac 14$．