每日一题[3136]数阵

如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为 $1$ 的等差数列和 一个公差为 $2$ 的等差数列，每一行是一个公差为 $1$ 的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列 $\left\{a_{n}\right\}: 1,2,3,3,4,5,4,5,6,7,\cdots$，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$，则下列说法正确的有（       ）

$$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&2&&3&&&&\\ &&&3&&4&&5&&&\\ &&4&&5&&6&&7&&\\ &\cdots&&\cdots&&\cdots&&\cdots&&\cdots&\\ n&&n+1&&\cdots&&\cdots&&2n-2&&2n-1\\ \end{array}$$

A．$a_{100}=22$

B．$22$ 第一次出现是 $a_{100}$

C．$22$ 在 $\left\{a_{n}\right\}$ 中出现了 $11$ 次

D．$S_{100}=1345$

答案    ACD．

解析    根据题意，第 $m$ 行为

$$m,m+1,\cdots,2m-1,$$ 而前 $m$ 行共有 $\dfrac 12m(m+1)$ 个数，具体对应为 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline m&10&11&12&13&14&15&16 \\ \hline \dfrac 12m(m+1)&55&66&78&91&105&120&136\\ \hline\end{array}$$ 因此 $a_{100}$ 是 $(14,9)$（表示第 $14$ 行的第 $9$ 个数），为 $22$，选项 $\boxed{A}$ 正确． $22$ 出现在 $(12,11),(13,10),\cdots,(22,1)$，共出现了 $11$ 次，第一次为 $a_{66+11}=a_{77}$，选项 $\boxed{B}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确． 第 $m$ 行的所有数之和为 $\dfrac12m(3m-1)$，因此 $$S_{100}=\sum_{m=1}^{13}\dfrac 12m(3m-1)+14+15+\cdots+22=1183+162=1345,$$ 选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确．