每日一题[3134]各说各话

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x-m$（$x \in \mathbb{R}$），$g(x)=\sin x-\cos x$（$x \geqslant 0$），则下列说法正确的是（       ）

A．若 $f(x)$ 有两个零点，则 $m>1$

B．若 $x_1 \neq x_2$ 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$，则 $x_1+x_2<0$

C．函数 $y=g(x)$ 在区间 $\left[0, \dfrac{5 \pi}{4}\right]$ 有两个极值点

D．过原点的动直线 $l$ 与曲线 $y=g(x)$ 相切，切点的横坐标从小到大依次为：$x_1, x_2, \cdots, x_n$．则 $x_n=\tan \left(x_n-\dfrac{\pi}{4}\right)$

答案    ABD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-1,$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)&+\infty\\ \hline f(x)&+\infty&\searrow&1-m&\nearrow&+\infty \\ \hline\end{array}$$ 因此当且仅当 $m>1$ 时，函数 $f(x)$ 有两个零点，选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，根据对数平均不等式，有

$${\rm e}^{\frac{x_1+x_2}2}<\dfrac{{\rm e}^{x_1}-{\rm e}^{x_2}}{x_1-x_2}<\dfrac {{\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}}2,$$ 即 $${\rm e}^{\frac{x_1+x_2}2}<1<\dfrac{x_1+x_2}2+m,$$ 从而 $$1-m<\dfrac{x_1+x_2}2<0,$$ 选项 $\boxed{B}$ 正确．

对于选项 $\boxed{C}$，函数 $g(x)=\sqrt 2\sin\left(x-\dfrac{\pi}4\right)$，该函数在区间 $\left[0, \dfrac{5 \pi}{4}\right]$ 只有 $1$ 个极值点，选项 $\boxed{C}$ 错误．

对于选项 $\boxed{D}$，切线横坐标为 $x_n$ 的切线方程为

$$y=g(x_n)+g'(x_n)(x-x_n),$$ 即 $$y=\sqrt 2\sin\left(x_n-\dfrac{\pi}4\right)+\sqrt 2\cos\left(x_n-\dfrac{\pi}4\right)(x-x_n),$$ 直线过点 $(0,0)$，因此 $x_n=\tan \left(x_n-\dfrac{\pi}4\right)$，选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．