每日一题[3130]量词纠缠

已知函数 $f(x)={\rm e}^x\cdot\sin (rx)$（$r\in\mathbb N^{\ast}$）．

1、若 $r=1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、证明：对于任意的正实数 $M$，总存在大于 $M$ 的实数 $a,b$，使得当 $x\in[a,b]$ 时，$|f(x)|\leqslant 1$．

解析

1、当 $r=1$ 时，$f(x)={\rm e}^x\cdot \sin x$，其导函数 $$f'(x)={\rm e}^x\left(\sin x+\cos x\right)=\sqrt 2{\rm e}^x\sin\left(x+\dfrac{\pi}4\right),$$ 于是其单调递增区间为 $\left(-\dfrac{\pi}4+2k\pi,\dfrac{3\pi}4+2k\pi\right)$（$k\in\mathbb Z$），单调递减区间是 $\left(\dfrac{3\pi}4+2k\pi,\dfrac{7\pi}4+2k\pi\right)$（$k\in\mathbb Z$）．

2、考虑 $x\geqslant 0$ 的情形，函数 $f(x)$ 的零点为 $a_k=\dfrac{k\pi}r$（$k\in\mathbb Z$），在区间 $P_k\left(\dfrac{\pi}r\cdot 2k,\dfrac{\pi}r\cdot (2k+1)\right)$ 上函数值为正，考虑到 $k\geqslant r$ 时，有 $$f\left(\dfrac{\pi}r\cdot \left(2k+\dfrac 12\right)\right)={\rm e}^{\frac{\pi}r\cdot \left(2k+\frac 12\right)}>1,$$ 因此在区间 $P_k$ 上，方程 $f(x)=1$ 至少有两解（事实上分析单调性可知恰有两解），设最小的为 $b_k$，在区间 $[a_k,b_k]$ 上，有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1$，取 $k=\max\left\{\left[\dfrac{rM}{\pi}\right]+1,r\right\}$，则 $a_k>M$，此时当 $x\in [a_k,b_k]$ 时，$|f(x)|\leqslant 1$，命题得证．

备注    命题的否定是：存在正实数 $M$，对任意大于 $M$ 的实数 $a,b$，都存在 $x_0\in[a,b]$，使得 $|f(x_0)|>1$．