每日一题[3126]一鼓作气再而衰三而竭

设 $a, b, c$ 为实数，函数 $f(x)=a \cos x+b \cos 2 x+c \cos 3 x$．

1、当 $b=1$，$c=0$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值．

2、若 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立，求 $a+b+c$ 的最大值及对应的所有数组 $(a, b, c)$．

解析

1、当 $b=1$，$c=0$ 时，有

$$f(x)=a\cos x+\cos 2x=2\cos^2x+a\cos x-1,$$ 设 $g(x)=2x^2+a-1$，其对称轴为 $x=-\dfrac a2$，因此所求为 $g(x)$ 在 $x\in [-1,1]$ 上的最小值，为 $$\begin{cases} g(-1),&-\dfrac a2\in(-\infty,-1),\\ g\left(-\dfrac a2\right),&-\dfrac a2\in [-1,1],\\ g(1),&-\dfrac a2\in (1,+\infty),\end{cases}~\text{即}~\begin{cases} 1+a,&a\in (-\infty,-4),\\ -1-\dfrac18a^2,&a\in [-4,4],\\ 1-a,&a\in (4,+\infty).\end{cases}$$

2、根据题意，有

$$f(x)=a\cos x+b(2\cos^2x-1)+c(4\cos^3x-3\cos x),$$ 记 $g(x)=ax+b(2x^2-1)+c(4x^3-3x)$，则 $\forall x\in [-1,1],~g(x)\geqslant -1$，于是 $$\begin{cases} g( -1)=-a+b-c,\\ g(0)=-b,\\ g(1)=a+b+c,\end{cases}$$ 可得 $$\begin{cases} a+b+c=g(1)\geqslant -1,\\ a+b+c=-\left(2g(0)+g(-1)\right)\leqslant 3,\end{cases}$$ 接下来探索 $a+b+c=3$ 的条件．由于 $x=0,-1$ 都是方程 $g(x)+1=0$ 的实数解，而在 $x\in [-1,1]$ 上，有 $g(x)+1\geqslant 0$，因此 $x=0$ 是函数 $g(x)$ 的极小值点，从而 $$g(x)+1=4cx^2(x+1)\iff \begin{cases} 1-b=0,\\ a+2b-3c=0,\\ 2b=4c,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\dfrac 32,\\ b=1,\\ c=\dfrac 12,\end{cases}$$ 因此 $a+b+c$ 的最大值为 $3$，对应的数组 $(a,b,c)=\left(\dfrac 32,1,\dfrac 12\right)$．