每日一题[3122]焦点三角形与内心

已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，$P$ 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，$I$ 为 $\triangle P F_1 F_2$ 的内心，记直线 $O P, O I$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$，若 $k_1=\dfrac{3}{2} k_2$，则椭圆 $E$ 的离心率为（       ）

A．$\dfrac{1}{3}$

B．$\dfrac{1}{2}$

C．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

D．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

答案    B．

解析    不妨设 $P(x_0,y_0)$ 在第一象限，设 $I$ 在 $x$ 轴上的投影为 $H$，椭圆的半焦距为 $c$，椭圆的离心率为 $e$，则

$$k_2=\dfrac{|IH|}{|OH|}=\dfrac{\dfrac{[\triangle PF_1F_2]}{a+c}}{\dfrac 12\left(|F_1D|-|DF_2|\right)}=\dfrac{\dfrac{cy_0}{a+c}}{\dfrac 12\left(|PF_1|-|PF_2|\right)}=\dfrac{cy_0}{(a+c)\cdot \dfrac cax_0}=\dfrac{y_0}{(e+1)x_0}=\dfrac{k_1}{e+1},$$ 因此椭圆的离心率 $e=\dfrac{k_1}{k_2}-1=\dfrac 12$．