每日一题[3121]交错和差

数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_{n+2}+(-1)^n a_n=2 n$，且 $S_8=68$，则以下结论正确的有（       ）

A．$a_1=4$

B．数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）为递增数列

C．数列 $\left\{a_{4 n}\right\}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）为等差数列

D．$\dfrac{a_{2 n+2}+a_{2 n}}{a_{2 n+1}}$（$n \in\mathbb N^{\ast}$）的最大值为 $\dfrac{4}{7}$

答案    BCD．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} a_3-a_1=2,\\ a_4+a_2=4,\\ a_5-a_3=6,\\ a_6+a_4=8,\\ a_7-a_5=10,\\ a_8+a_6=12,\end{cases}\implies \begin{cases} a_3=2+a_1,\\ a_5=8+a_1,\\ a_7=18+a_1,\\ a_2+a_4=4,\\ a_6+a_8=12,\end{cases}\implies S_8=44+4a_1,$$ 而 $S_8=68$，解得 $a_1=6$，选项 $\boxed{A}$ 错误． 而 $$a_{2n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{2k+1}-a_{2k-1})=6+\sum_{k=1}^{n-1}(4k-2)=2(n-1)^2+6,$$ 因此数列 $\{a_{2n-1}\}$ 是递增数列，选项 $\boxed{B}$ 正确． 又 $$a_{4n+4}-a_{4n}=\left(a_{4n+4}+a_{4n+2}\right)-\left(a_{4n+2}+a_{4n}\right)=(8n+4)-8n=4,$$ 选项 $\boxed{C}$ 正确．

对于选项 $\boxed{D}$，有

$$\dfrac{a_{2 n+2}+a_{2 n}}{a_{2 n+1}}=\dfrac{4n}{2n^2+6}=\dfrac{2}{n+\dfrac 3n}\leqslant \dfrac 47,$$ 等号当 $n=2$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac 47$，选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．