每日一题[3120]波澜起伏

已知 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$（$\omega>0$）满足 $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$，$f\left(\dfrac{5 \pi}{3}\right)=0$ 且 $f(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5 \pi}{6}\right)$ 上单调，则 $\omega$ 的最大值为（       ）

A．$\dfrac{12}{7}$

B．$\dfrac{18}{17}$

C．$\dfrac{6}{17}$

D．$\dfrac{30}{17}$

答案    B．

解析    根据题意，有 $$\begin{cases} \dfrac 12\cdot \dfrac{2\pi}{\omega}\geqslant \dfrac{5\pi}6-\dfrac{\pi}4,\\ \dfrac{\pi}4\cdot \omega+\varphi=2k_1\pi+\dfrac{\pi}2,~k_1\in\mathbb Z,\\ \dfrac{5\pi}3\cdot \omega+\varphi=k_2\pi,~k_2\in\mathbb Z,\end{cases}\implies \begin{cases} \omega\leqslant \dfrac{17}7,\\ \omega=\dfrac{12}{17}\cdot (k_2-2k_1)-\dfrac{6}{17},~k_1,k_2\in\mathbb Z,\end{cases}$$ 因此 $\omega$ 的最大值为 $\dfrac{18}{17}$．