每日一题[3117]步步高升

在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中给定 $a_1$，且函数 $f(x)=\dfrac{1}{3} x^3-a_{n+1} \sin x+\left(a_n+2\right) x+1$ 的导函数有唯一零点，函数 $g(x)=12 x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin (\pi x)-\dfrac{1}{2} \cos (\pi x)$ 且 $g\left(a_1\right)+g\left(a_2\right)+\cdots+g\left(a_9\right)=18$，则 $a_5=$ (       )

A．$\dfrac{1}{4}$

B．$\dfrac{1}{3}$

C．$\dfrac{1}{6}$

D．以上答案都不正确

答案    D．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=x^2-a_{n+1}\cos x+(a_n+2),$$ 考虑函数 $f'(x)$ 是偶函数，因此 $f'(x)$ 有唯一零点则必然为 $x=0$，因此 $$f'(0)=1\iff a_{n+1}=a_n+2.$$ 当 $x>0$ 时，其二阶导函数 $$f''(x)=2x+a_{n+1}\sin x.$$

情形一    若 $a_{n+1}\geqslant -2$，则 $$f''(x)\geqslant 2x-2|\sin x|\geqslant 0,$$ 此时 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，符合题意．

情形二    若 $a_{n+1}<-2$，则有 $$f'''(x)=2+a_{n+1}\cos x,$$ 因此 $f''(x)$ 在 $\left(0,\arccos\dfrac{2}{-a_{n+1}}\right)$ 上单调递减，从而在该区间上有 $f'(x)<0$，又 $x\to +\infty$ 时，有 $f'(x)\to +\infty$，因此 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有零点，不符合题意． 这样，就有 $a_{n+1}=a_1+2(n-1)$，且 $a_1\geqslant -4$． 函数 $g(x)=12x+\sin\left(\pi x-\dfrac{\pi}6\right)$，关于 $P_k\left(k+\dfrac 16,12k+2\right)$（$k\in\mathbb Z$）对称且单调递增，由于 $\{a_n\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列，因此 $$S(a_5)=g\left(a_1\right)+g\left(a_2\right)+\cdots+g\left(a_9\right)$$ 关于 $a_5$ 单调递增，而 $$S\left(\dfrac 16\right)=9g\left(\dfrac 16\right)=18,$$ 因此 $a_5=\dfrac 16$，但此时 $a_1=\dfrac 16-8<-4$，矛盾．