每日一题[3116]三角藏圆

已知正 $\triangle A B C$ 的边长为 $4 \sqrt{3}$，内切圆圆心为 $I$，点 $P$ 满足 $\left|\overrightarrow{P I}\right|=1$．

1、求证：$\overrightarrow{P A}^2+\overrightarrow{P B}^2+\overrightarrow{P C}^2$ 为定值．

2、把三个实数 $a, b, c$ 的最小值记为 $\min \{a, b, c\}$，若 $$m=\min \left\{\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}, \overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}, \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}\right\},$$ 求 $m$ 的取值范围．

3、若 $x \overrightarrow{P A}+y \overrightarrow{P B}+z \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$（$x, y, z \in \mathbb R^{+}$），求当 $\dfrac{y}{x}$ 取最大值时，$\dfrac{z}{x+y}$ 的值．

解析

1、如图．根据题意，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的中心，且 $$\begin{cases} \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\\ \overrightarrow{IA}^2=\overrightarrow{IB}^2=\overrightarrow{IC}^2=16,\end{cases}$$

进而有 $$\sum_{\rm cyc}\overrightarrow{PA}^2=\sum_{\rm cyc}\left(\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IA}\right)^2=3|PI|^2+\overrightarrow{PI}\cdot \sum_{\rm cyc}\overrightarrow{IA}+\sum_{\rm cyc}\overrightarrow{IA}^2=3+0+16\cdot 3=51.$$

2、根据题意，有 $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\left(\overrightarrow {PI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot \left(\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{PI}^2+\overrightarrow{PI}\cdot \left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}=-7+2\overrightarrow{PI}\cdot \overrightarrow{IM},$$ 其中 $M$ 为 $AB$ 的中点，$|IM|=2$，从而 $m$ 的最小值为 $$-7+2\cdot (-1)\cdot 2=-11.$$ 而 $$\sum_{\rm cyc}\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-21+2\overrightarrow{PI}\cdot \sum_{\rm cyc}\overrightarrow{IM}=-21,$$ 其中 $$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\leqslant -7+2\cdot 1\cdot 2=-3,$$ 因此 $$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}\leqslant -18\implies m\leqslant -9,$$ 等号当 $\overrightarrow{IP}$ 与 $\overrightarrow{IM}$ 反向时取得，因此所求 $m$ 的取值范围是 $[-11,-9]$．

3、根据三角形五心向量形式的引理，可得 $$\dfrac yx=\dfrac{[\triangle PAC]}{[\triangle PBC]}=\dfrac{\sin\angle PCA}{\sin\angle PCB}\leqslant \dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}6+\arcsin\dfrac 14\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}6-\arcsin\dfrac 14\right)},$$ 等号当 $CP\perp PI$ 时取得，此时 $$\dfrac {z}{x+y+z}=\dfrac{[\triangle PAB]}{[\triangle ABC]}=\dfrac{d(P,AB)}{d(C,AB)}=\dfrac{d(I,AB)+|IP|\cos\angle PIC}{3d(I,AB)}=\dfrac{2+1\cdot \dfrac 14}{6}=\dfrac 38,$$ 因此 $\dfrac z{x+y}$ 的值为 $\dfrac 35$．