每日一题[3115]比大小

已知 $a, b, c$ 满足 $a=3\sin \dfrac{1}{3}$，$b={\rm e}^{-\frac{1}{3}}$，$c= {\log_3}{\rm e}$，则（       ）

A．$b<a<c$

B．$c<b<a$

C．$b<c<a$

D．$a<b<c$

答案    C．

解析    依次估算，有

$$1=\dfrac{1}{3\cdot \dfrac 13}<\dfrac 1a=\dfrac{1}{3\sin\dfrac13}<\dfrac{1}{3\cdot\left(\dfrac13-\dfrac 16\cdot \dfrac{1}{3^3}\right)}=\dfrac{54}{53}=1.01\cdots,$$ 而 $$1.33\cdots=\dfrac 43=1+\dfrac13<\dfrac 1b={\rm e}^{\frac 13}<\dfrac{1}{1-\dfrac13}=\dfrac32,$$ 且 $$1.07\cdots=8-4\sqrt 3=\dfrac{4\left(\sqrt 3-1\right)}{\sqrt 3+1}<\dfrac1c=\ln 3<\sqrt 3-\dfrac{1}{\sqrt 3}=\dfrac 23\sqrt 3=1.15\cdots,$$ 从而 $$\dfrac 1a<\dfrac 1c<\dfrac 1b\iff b<c<a.$$