每日一题[3112]交叉复合

已知函数 $f(x)=\sin (\cos x)+\cos (\sin x)$,下列关于该函数的结论正确的是(       )

A.$f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称

B.$f(x)$ 的一个周期是 $2 \pi$

C.$f(x)$ 的最大值为 $\sin 1+1$

D.$f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递增

答案    ABC.

解析    对于选项 $\boxed{A}$,由于\[f(2\pi-x)=\sin(\cos(2\pi-x))+\cos(\sin(2\pi-x))=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)=f(x),\]于是选项正确.

对于选项 $\boxed{B}$,由于\[f(x+2\pi)=\sin(\cos(x+2\pi))+\cos(\sin(x+2\pi))=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)=f(x),\]于是选项正确.

对于选项 $\boxed{C}$,由于 $\cos x\in [-1,1]$,于是\[\sin(\cos x)+\cos (\sin x)\leqslant \sin 1+1,\]等号当 $x=0$ 时取得,于是选项正确.

对于选项 $\boxed{D}$,由于 $f\left(\dfrac{\pi}2\right)=\cos 1$,$f(\pi)=1-\sin 1$,而\[\cos 1>1-\sin 1\impliedby \sin 1+\cos x>1\impliedby 1+\sin 2>1,\]从而 $f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上不单调递增,选项错误.

综上所述,正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$.

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