每日一题[3112]交叉复合

已知函数 $f(x)=\sin (\cos x)+\cos (\sin x)$，下列关于该函数的结论正确的是（       ）

A．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称

B．$f(x)$ 的一个周期是 $2 \pi$

C．$f(x)$ 的最大值为 $\sin 1+1$

D．$f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递增

答案    ABC．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，由于 $$f(2\pi-x)=\sin(\cos(2\pi-x))+\cos(\sin(2\pi-x))=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)=f(x),$$ 于是选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，由于 $$f(x+2\pi)=\sin(\cos(x+2\pi))+\cos(\sin(x+2\pi))=\sin(\cos x)+\cos(\sin x)=f(x),$$ 于是选项正确．

对于选项 $\boxed{C}$，由于 $\cos x\in [-1,1]$，于是 $$\sin(\cos x)+\cos (\sin x)\leqslant \sin 1+1,$$ 等号当 $x=0$ 时取得，于是选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，由于 $f\left(\dfrac{\pi}2\right)=\cos 1$，$f(\pi)=1-\sin 1$，而 $$\cos 1>1-\sin 1\impliedby \sin 1+\cos x>1\impliedby 1+\sin 2>1,$$ 从而 $f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上不单调递增，选项错误．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．