每日一题[3111]双参最值

已知函数 $f(x)=m \mathrm{e}^x-x-n-1$（$m, n \in \mathbb{R}$），若 $f(x) \geqslant-1$ 对任意的 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立，则 $m n$ 的最大值是（       ）

 A．$\mathrm{e}^{-2}$

B．$-\mathrm{e}^{-2}$

C．$\mathrm{e}^{-1}$

D．$-\mathrm{e}^{-1}$

答案    B．

解析    根据题意，有 $m>0$（否则当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)\to -\infty$，不符合题意），于是 $$mn\leqslant m\cdot \min\left\{m{\rm e}^x-x\right\}=m\cdot (1+\ln m),$$ 设 $g(x)=x(1+\ln x)$，则其导函数 $$g'(x)=\ln x+2,$$ 因此其最大值为 $$g\left({\rm e}^{-2}\right)=-{\rm e}^{-2},$$ 因此 $mn$ 的最大值为 $-{\rm e}^{-2}$，当 $m={\rm e}^{-2}$，$n=-1$ 时取得．