每日一题[3108]球中截台

已知圆台的上下底面的圆周都在半径为 $2$ 的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为 $r$（$0<r<2$），设圆台的体积为 $V$，则下列选项中说法正确的是（       ）

A．当 $r=1$ 时，$V=7 \sqrt{3} \pi$

B．$V$ 存在最大值

C．当 $r$ 在区间 $(0,2)$ 内变化时，$V$ 逐渐减小

D．当 $r$ 在区间 $(0,2)$ 内变化时，$V$ 先增大后减小

答案    BD．

解析    圆台的高为 $\sqrt{4-r^2}$（$0<r<2$），因此圆台的体积

$$V(r)=\dfrac13\pi\left(r^2+2r+4\right)\cdot \sqrt{4-r^2},$$ 从而 $V(1)=\dfrac{7\sqrt 3\pi}3$．函数 $V(r)$ 的导函数 $$V'(r)=\dfrac{8-r(r+2)(3r-2)}{\sqrt{4-r^2}},$$ 设 $g(r)=8-r(r+2)(3r-2)$，当 $0<r\leqslant \dfrac 23$ 时，$V'(r)>0$，此时 $V(r)$ 单调递增；当 $\dfrac 23<r<2$ 时，$g(r)$ 单调递减，且 $$g\left(\dfrac 23\right)=8,\quad g(2)=-24,$$ 因此 $g(r)$ 存在唯一零点 $r_0$，进而 $V(r)$ 在 $(0,r_0)$ 上单调递增，在 $(r_0,2)$ 上单调递减，在 $r=r_0$ 时取得最大值 $V(r_0)$．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．