每日一题[3107]爬楼梯

若函数 f(x),g(x) 的图象与直线 x=m 分别交于 A,B 两点,与直线 x=n 分别交于 C,D 两点(m<n),且直线 AC,BD 的斜率互为相反数,则称 f(x),g(x)(m,n) 相关函数.

1、若 f(x),g(x) 均为定义域上的单调递增函数,证明:不存在实数 m,n,使得 f(x),g(x)(m,n) 相关函数.

2、已知 f(x)=eaxg(x)=ax2,若存在实数 m,n,且 mn>0,使得 f(x),g(x)(m,n) 相关函数,且 |AB|=|CD|,求实数 a 的取值范围.

解析

1、根据题意,A(m,f(m)),B(m,g(m)),C(n,f(n)),D(n,g(n)),直线 AC,BD 的斜率之和为S(m,n)=f(n)f(m)nm+g(n)g(m)nm=f(n)+g(n)f(m)g(m)nm,f(x),g(x) 均为单调递增函数时,f(n)>f(m)g(n)>g(m),因此 S(m,n)>0,因此不存在实数 m,n,使得 f(x),g(x)(m,n) 相关函数.

2、根据题意,有{f(n)+g(n)=f(m)+g(m),|f(n)g(n)|=|f(m)g(m)|,{f(m)=f(n),g(m)=g(n),  {f(m)=g(n),g(m)=f(n),第一个方程组解得 a=0,第二个方程组即{eam=an2,ean=am2,{am=2ln|n|+lna,an=2ln|m|+lna,n>m>0,则{am<an,2ln|n|+lna>2ln|m|+lna,矛盾. 若 0>n>m,则{am=2ln(n)+lna,an=2ln(m)+lna,{a(1aean)=2ln(n)+lna,a(1aeam)=2ln(m)+lna,h(x)=aea2x+2lnx+lna,则该函数至少有两个正零点.函数 h(x) 的导函数h(x)=12x(4a32xea2x),φ(x)=xex,则有h(x)=1x(2+aφ(a2x)),由于 φ(x)=(x+1)ex,因此 φ(a2x)x(0,+) 上的取值范围是 [e1,1). [[case]]情形一[[/case]] 0<a2e.此时 h(x)>0,于是 h(x) 单调递增,不可能有两个正零点,不符合题意. [[case]]情形二[[/case]] a>2e.此时 h(x) 有两个极值点,分别在 x=2a 两侧,而h(2a)=(lna2ea2e+1)>0,而当 x0 时,h(x),因此 h(x)(0,2a) 上有零点,设为 x1,则x2=2lnx1+lnaa>2ln2a+lnaa=1alna4>2a>x1,因此取 (m,n)=(x2,x1) 即符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {0}(4e2,+)

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