每日一题[3106]同一双切线

已知：若点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）上一点，则双曲线在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为 $\dfrac{x_0 x}{a^2}-\dfrac{y_0 y}{b^2}=1$．如图，过点 $C(m, 1)$（$-\sqrt{3}<m<\sqrt{3}$）分别作双曲线 $\dfrac{x^2}{3}-y^2=1$ 两支的切线，切点分别为 $P, Q$，连接 $P, Q$ 两点，并过线段 $P Q$ 的中点 $F$ 分别再作双曲线两支的切线，切点分别为 $D, E$，记 $\triangle D C F$ 与 $\triangle E C F$ 的面积分别为 $S_1, S_2$．

1、求直线 $P Q$ 的方程（用 $m$ 表示）．

2、证明直线 $D E$ 过点 $C$，并比较 $S_1$ 与 $S_2$ 的大小．

解析

1、根据双曲线的切线弦方程，可得 $PQ:~\dfrac{mx}3-1\cdot y=1$，即 $PQ$ 的方程为 $mx-3y-3=0$．

2、设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则 $F\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\dfrac{y_1+y_2}2\right)$，进而可得 $F$ 关于双曲线的切点弦方程为

$$DE:~\dfrac{x_1+x_2}2\cdot \dfrac x3-\dfrac{y_1+y_2}2\cdot y=1,$$ 由于 $F$ 在直线 $PQ$ 上，于是 $$\dfrac{x_1+x_2}2\cdot \dfrac m3-\dfrac{y_1+y_2}2=1,$$ 因此点 $C(m,1)$ 在直线 $DE$ 上． 由双曲线的垂径定理，直线 $OF$（$O$ 为坐标原点）与直线 $PQ$ 的斜率之积为 $\dfrac 13$，而直线 $OF$ 的斜率与直线 $DE$ 的斜率之积也为 $\dfrac 13$，因此直线 $PQ$ 与 $DE$ 平行，又直线 $PQ$ 与直线 $OC$ 的斜率之积为 $\dfrac 13$，进而直线 $DE$ 被直线 $OC$ 评分，因此 $C$ 是线段 $DE$ 的中点，从而 $S_1=S_2$．