已知:若点 (x0,y0) 是双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点,则双曲线在点 (x0,y0) 处的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1.如图,过点 C(m,1)(−√3<m<√3)分别作双曲线 x23−y2=1 两支的切线,切点分别为 P,Q,连接 P,Q 两点,并过线段 PQ 的中点 F 分别再作双曲线两支的切线,切点分别为 D,E,记 △DCF 与 △ECF 的面积分别为 S1,S2.
1、求直线 PQ 的方程(用 m 表示).
2、证明直线 DE 过点 C,并比较 S1 与 S2 的大小.
解析
1、根据双曲线的切线弦方程,可得 PQ: mx3−1⋅y=1,即 PQ 的方程为 mx−3y−3=0.
2、设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 F(x1+x22,y1+y22),进而可得 F 关于双曲线的切点弦方程为DE: x1+x22⋅x3−y1+y22⋅y=1,由于 F 在直线 PQ 上,于是x1+x22⋅m3−y1+y22=1,因此点 C(m,1) 在直线 DE 上. 由双曲线的垂径定理,直线 OF(O 为坐标原点)与直线 PQ 的斜率之积为 13,而直线 OF 的斜率与直线 DE 的斜率之积也为 13,因此直线 PQ 与 DE 平行,又直线 PQ 与直线 OC 的斜率之积为 13,进而直线 DE 被直线 OC 评分,因此 C 是线段 DE 的中点,从而 S1=S2.