每日一题[3106]同一双切线

已知:若点 (x0,y0) 是双曲线 x2a2y2b2=1a>0b>0)上一点,则双曲线在点 (x0,y0) 处的切线方程为 x0xa2y0yb2=1.如图,过点 C(m,1)3<m<3)分别作双曲线 x23y2=1 两支的切线,切点分别为 P,Q,连接 P,Q 两点,并过线段 PQ 的中点 F 分别再作双曲线两支的切线,切点分别为 D,E,记 DCFECF 的面积分别为 S1,S2

1、求直线 PQ 的方程(用 m 表示).

2、证明直线 DE 过点 C,并比较 S1S2 的大小.

解析

1、根据双曲线的切线弦方程,可得 PQ: mx31y=1,即 PQ 的方程为 mx3y3=0

2、设 P(x1,y1)Q(x2,y2),则 F(x1+x22,y1+y22),进而可得 F 关于双曲线的切点弦方程为DE: x1+x22x3y1+y22y=1,由于 F 在直线 PQ 上,于是x1+x22m3y1+y22=1,因此点 C(m,1) 在直线 DE 上. 由双曲线的垂径定理,直线 OFO 为坐标原点)与直线 PQ 的斜率之积为 13,而直线 OF 的斜率与直线 DE 的斜率之积也为 13,因此直线 PQDE 平行,又直线 PQ 与直线 OC 的斜率之积为 13,进而直线 DE 被直线 OC 评分,因此 C 是线段 DE 的中点,从而 S1=S2

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