已知双曲线 C: x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 √2,且 C 的一个焦点到另一条渐近线的距离为 1.
1、求 C 的方程.
2、设点 A 为 C 的左顶点,若过点 B(3,0) 的直线 l 与 C 的右支交于点 P,Q,直线 AP,AQ 分别与圆 x2+y2=a2 交于点 M,N,记四边形 PQNM 的面积为 S1,△AMN 的面积为 S2,求 S1S2 的取值范围.
答案 双曲线的焦点到准线的距离为 b=1,结合离心率 √1+b2a2=√2,可得 a=b=1,从而 C 的方程为 x2−y2=1.
解析 设 P(sec2α,tan2α),Q(sec2β,tan2β),记 m=tanα,n=tanβ,其中 α,β∈(−π4,π4),则根据双曲线的参数弦方程,有mn=1−31+3=−12,
且 m,n∈(−1,1),此时AP: y=tan2α−0sec2α−(−1)(x+1)⟺y=tanα⋅(x+1),
与圆 x2+y2=1 联立可得 M 点横坐标为 cos2α.同理,N 点横坐标为 cos2β,因此S1+S2S2=[△APQ][△AMN]=|AP||AM|⋅|AQ||AN|=sec2α+1cos2α+1⋅sec2β+1cos2β+1=1+m21−m2+11−m21+m2+1⋅1+n21−n2+11−n21+n2+1=1+m21−m2⋅1+n21−n2=54+(m2+n2)54−(m2+n2),
由于 m2+n2 的取值范围是 [1,54),因此 S1+S2S2 的取值范围是 [9,+∞),从而 S1S2 的取值范围是 [8,+∞).