每日一题[3102]王屋太行

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$，右焦点为 $F$，已知 $\left|A_1 F\right|=3$，$\left|A_2 F\right|=1$．

1、求椭圆方程及其离心率．

2、已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_2 P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$，若 $\triangle A_1 P Q$ 的面积是 $\triangle A_2 F P$ 面积的 $2$ 倍，求直线 $A_2 P$ 的方程．

解析

1、设椭圆的焦距为 $2c$，则

$$\begin{cases} |A_1F|=3,\\ |A_2F|=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a+c=3,\ a-c=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2,\\ c=1,\end{cases}$$ 因此椭圆方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．

2、设 $P(2\cos\theta,\sqrt 3\sin\theta)$，$P$ 在 $x$ 轴的投影为 $H$，则

$$\dfrac{[\triangle A_1PQ]}{[\triangle A_2FP]}=\dfrac{d(A_1,PQ)\cdot |PQ|}{d(F,A_2P)\cdot |PA_2|}=\dfrac{|A_2A_1|}{|A_2F|}\cdot \dfrac{|OH|}{|A_2H|}=4\cdot \dfrac{2\cos\theta}{2-2\cos\theta}=\dfrac{4\cos\theta}{1-\cos\theta},$$ 根据 $\triangle A_1 P Q$ 的面积是 $\triangle A_2 F P$ 面积的 $2$ 倍，可得 $\cos\theta=\dfrac13$，因此 $P\left(\dfrac 23,\pm\dfrac{2\sqrt 6}3\right)$，直线 $A_2P$ 的斜率为 $\mp\dfrac{\sqrt 6}2$，因此所求方程为 $y=\mp\dfrac{\sqrt 6}2(x-2)$．