曲线 Γ: y2=4x,第一象限内点 A 在 Γ 上,A 的纵坐标是 a.
1、若 A 到准线距离为 3,求 a.
2、若 a=4,B 在 x 轴上,AB 中点在 Γ 上,求点 B 坐标和坐标原点 O 到 AB 距离.
3、直线 l: x=−3,令 P 是第一象限 Γ 上异于 A 的一点,直线 PA 交 l 于 Q,H 是 P 在 l 上的投影,若点 A 满足“对于任意 P 都有 |HQ|>4”,求 a 的取值范围.
解析
1、根据题意,点 A 的坐标为 (14a2,a)(a>0),于是 A 到准线的 x=−1 距离14a2+1=3⟺a=2√2.
2、若 $a=4$,则 $A(4,4)$,因此 $AB$ 中点纵坐标为 $2$,对应坐标为 $(1,2)$,从而 $B(-2,0)$,此时直线 $AB:~2x-3y+4=0$,因此坐标原点 $O$ 到 $AB$ 的距离为\[\dfrac{4}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}.\]
3、根据题意,有 A(14a2,a),设 P(14b2,b)(b≠a),则直线PA: 4x−(a+b)y+ab=0,
于是 Q(−3,ab−12a+b),H(−3,b),有|HQ|>4⟺|ab−12a+b−b|>4⟺12+b2a+b>4⟺a<14(b−2)2+2,
因此实数 a 的取值范围是 (0,2].