每日一题[3098]点驱参方

曲线 $\Gamma:~ y^{2}=4 x$，第一象限内点 $A$ 在 $\Gamma$ 上，$A$ 的纵坐标是 $a$．

1、若 $A$ 到准线距离为 $3$，求 $a$．

2、若 $a=4$，$B$ 在 $x$ 轴上，$A B$ 中点在 $\Gamma$ 上，求点 $B$ 坐标和坐标原点 $O$ 到 $A B$ 距离．

3、直线 $l: ~x=-3$，令 $P$ 是第一象限 $\Gamma$ 上异于 $A$ 的一点，直线 $P A$ 交 $l$ 于 $Q$，$H$ 是 $P$ 在 $l$ 上的投影，若点 $A$ 满足“对于任意 $P$ 都有 $|H Q|>4$”，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，点 $A$ 的坐标为 $\left(\dfrac 14a^2,a\right)$（$a>0$），于是 $A$ 到准线的 $x=-1$ 距离 $$\dfrac14a^2+1=3\iff a=2\sqrt 2.$$

2、若 $a=4$，则 $A(4,4)$，因此 $AB$ 中点纵坐标为 $2$，对应坐标为 $(1,2)$，从而 $B(-2,0)$，此时直线 $AB:~2x-3y+4=0$，因此坐标原点 $O$ 到 $AB$ 的距离为\[\dfrac{4}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}.\]

3、根据题意，有 $A\left(\dfrac14a^2,a\right)$，设 $P\left(\dfrac 14b^2,b\right)$（$b\ne a$），则直线 $$PA:~4x-(a+b)y+ab=0,$$ 于是 $Q\left(-3,\dfrac{ab-12}{a+b}\right)$，$H\left(-3,b\right)$，有 $$|HQ|>4\iff \left|\dfrac{ab-12}{a+b}-b\right|>4\iff \dfrac{12+b^2}{a+b}>4\iff a<\dfrac 14(b-2)^2+2,$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,2]$．