每日一题[3098]点驱参方

曲线 Γ: y2=4x,第一象限内点 AΓ 上,A 的纵坐标是 a

1、若 A 到准线距离为 3,求 a

2、若 a=4Bx 轴上,AB 中点在 Γ 上,求点 B 坐标和坐标原点 OAB 距离.

3、直线 l: x=3,令 P 是第一象限 Γ 上异于 A 的一点,直线 PAlQHPl 上的投影,若点 A 满足“对于任意 P 都有 |HQ|>4”,求 a 的取值范围.

解析

1、根据题意,点 A 的坐标为 (14a2,a)a>0),于是 A 到准线的 x=1 距离14a2+1=3a=22.

2、若 $a=4$,则 $A(4,4)$,因此 $AB$ 中点纵坐标为 $2$,对应坐标为 $(1,2)$,从而 $B(-2,0)$,此时直线 $AB:~2x-3y+4=0$,因此坐标原点 $O$$AB$ 的距离为\[\dfrac{4}{\sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}.\]

3、根据题意,有 A(14a2,a),设 P(14b2,b)ba),则直线PA: 4x(a+b)y+ab=0,

于是 Q(3,ab12a+b)H(3,b),有|HQ|>4|ab12a+bb|>412+b2a+b>4a<14(b2)2+2,
因此实数 a 的取值范围是 (0,2]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复