每日一题[3097]自相关与封闭性

在平面上，若曲线 $\Gamma$ 具有如下性质：存在点 $M$，使得对于任意点 $P \in \Gamma$，都有 $Q \in \Gamma$ 使得 $|P M| \cdot|Q M|=1$（其中 $|AB|$ 表示点 $A$ 到点 $B$ 的距离），则称这条曲线为"自相关曲线"，则（        ）

 A．所有椭圆都是“自相关曲线"

B．存在椭圆都不是“自相关曲线"

C．所有双曲线都不是“自相关曲线”

D．存在双曲线是“自相关曲线”

答案    AC．

解析    对于椭圆，在椭圆长轴所在直线上确定椭圆外部的一点 $M$，使得 $M$ 到椭圆长轴的两个端点 $A,B$ 的距离之积 $|MA|\cdot |MB|=1$ 且 $|MA|>|MB|$，记 $|MB|=m$，则椭圆上的点到 $M$ 的距离的取值范围是 $\Omega=\left[m,\dfrac 1m\right]$，因此对于椭圆上任意一点 $P$，都有 $$|PM|,\dfrac{1}{|PM|}\in \Omega,$$ 所以所有椭圆都是“自相关曲线”．

对于双曲线，无论点 $M$ 在平面的任何位置，都有双曲线的点到 $M$ 的距离的取值范围是 $\left[n,+\infty\right)$，其中 $n\geqslant 0$．若 $n=0$，即点 $M$ 在双曲线上，则取 $P=M$，则 $|PM|=0$，不存在使得 $|P M| \cdot|Q M|=1$ 的点 $Q$；若 $n>0$，则取 $M$ 使得 $|PM|>\dfrac 1n$，则此时 $\dfrac{1}{|PM|}<n$，因此不存在使得 $|P M| \cdot|Q M|=1$ 的点 $Q$，所以所有双曲线都不是“自相关曲线”．

综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ 正确．