在平面上,若曲线 Γ 具有如下性质:存在点 M,使得对于任意点 P∈Γ,都有 Q∈Γ 使得 |PM|⋅|QM|=1(其中 |AB| 表示点 A 到点 B 的距离),则称这条曲线为"自相关曲线",则( )
A.所有椭圆都是“自相关曲线"
B.存在椭圆都不是“自相关曲线"
C.所有双曲线都不是“自相关曲线”
D.存在双曲线是“自相关曲线”
答案 AC.
解析 对于椭圆,在椭圆长轴所在直线上确定椭圆外部的一点 M,使得 M 到椭圆长轴的两个端点 A,B 的距离之积 |MA|⋅|MB|=1 且 |MA|>|MB|,记 |MB|=m,则椭圆上的点到 M 的距离的取值范围是 Ω=[m,1m],因此对于椭圆上任意一点 P,都有|PM|,1|PM|∈Ω,
所以所有椭圆都是“自相关曲线”.
对于双曲线,无论点 M 在平面的任何位置,都有双曲线的点到 M 的距离的取值范围是 [n,+∞),其中 n⩾0.若 n=0,即点 M 在双曲线上,则取 P=M,则 |PM|=0,不存在使得 |PM|⋅|QM|=1 的点 Q;若 n>0,则取 M 使得 |PM|>1n,则此时 1|PM|<n,因此不存在使得 |PM|⋅|QM|=1 的点 Q,所以所有双曲线都不是“自相关曲线”.
综上所述,选项 A C 正确.