每日一题[3097]自相关与封闭性

在平面上,若曲线 Γ 具有如下性质:存在点 M,使得对于任意点 PΓ,都有 QΓ 使得 |PM||QM|=1(其中 |AB| 表示点 A 到点 B 的距离),则称这条曲线为"自相关曲线",则(        )

 A.所有椭圆都是“自相关曲线"

B.存在椭圆都不是“自相关曲线"

C.所有双曲线都不是“自相关曲线”

D.存在双曲线是“自相关曲线”

答案    AC.

解析    对于椭圆,在椭圆长轴所在直线上确定椭圆外部的一点 M,使得 M 到椭圆长轴的两个端点 A,B 的距离之积 |MA||MB|=1|MA|>|MB|,记 |MB|=m,则椭圆上的点到 M 的距离的取值范围是 Ω=[m,1m],因此对于椭圆上任意一点 P,都有|PM|,1|PM|Ω,

所以所有椭圆都是“自相关曲线”.

对于双曲线,无论点 M 在平面的任何位置,都有双曲线的点到 M 的距离的取值范围是 [n,+),其中 n0.若 n=0,即点 M 在双曲线上,则取 P=M,则 |PM|=0,不存在使得 |PM||QM|=1 的点 Q;若 n>0,则取 M 使得 |PM|>1n,则此时 1|PM|<n,因此不存在使得 |PM||QM|=1 的点 Q,所以所有双曲线都不是“自相关曲线”.

综上所述,选项 A C 正确.

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