每日一题[3096]三国演义

设 $a>0$，函数 $y=\sin x$ 在区间 $[a, 2 a]$ 上的最小值为 $s_{a}$，在 $[2 a, 3 a]$ 上的最小值为 $t_{a}$，当 $a$ 变化时，以下不可能的情形是（        ）

A．$s_{a}>0$ 且 $t_{a}>0$

B．$s_{a}<0$ 且 $t_{a}<0$

C．$s_{a}>0$ 且 $t_{a}<0$

D．$s_{a}<0$ 且 $t_{a}>0$

答案    D．

解析    根据题意，有 $s_a\leqslant \min\{\sin a,\sin 2a\}$，因此当 $a\in\left(\dfrac{\pi}2,2\pi\right)$ 时，$s_a<0$，由又当 $a\geqslant 2\pi$ 时，区间 $[a,2a]$ 的长度不小于 $2\pi$，因此 $s_a=-1<0$，这样就得到了 $$s_a\begin{cases} >0,&a\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\\ =0,&a=\dfrac{\pi}2,\\ <0,&a\in\left(\dfrac{\pi}2,+\infty\right).\end{cases}$$ 类似的，有 $t_a\leqslant \min\{\sin 2a,\sin 3a\}$，因此当 $a\in\left(\dfrac{\pi}3,2\pi\right)$ 时，$t_a<0$，由又当 $a\geqslant 2\pi$ 时，区间 $[2a,3a]$ 的长度不小于 $2\pi$，因此 $t_a=-1<0$，这样就得到了 $$t_a\begin{cases} >0,&a\in\left(0,\dfrac{\pi}3\right),\\ =0,&a=\dfrac{\pi}3,\\ <0,&a\in\left(\dfrac{\pi}3,+\infty\right).\end{cases}$$ 综上所述，$(s_a,t_a)$ 的符号变化为 $(+,+)\to (+,-)\to (-,-)$，不可能出现 $(-,+)$，正确的选项为 $\boxed{D}$．

备注  在此基础上可以进一步计算 $s_a,t_a$ 的解析式，以 $s_a$ 为例，在 $\min\{sin a \sin 2a\}$ 的基础上，利用当 $\dfrac{3\pi}2,\cdots\in [a,2a]$ 时，$s_a=-1$ 对其中若干段进行改写即可．