每日一题[3095]分类讨论

空间内存在三点 $A,B,C$，满足 $A B=A C=B C=1$，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与 $A,B,C$ 可以组成正四棱锥，则可以组成的不同的正四棱锥的个数为_______．

答案    $9$．

解析    根据题意，$A,B,C$ 不能同时在底面上（正四棱锥的底面是正方形，而 $\triangle ABC$ 是正三角形），因此 $A,B,C$ 中某个点为正四棱锥的的顶点，另外两个点的连线可能为底面正方形的边（此时对应的正四棱锥有 $2$ 个），也可能为底面正方形的对角线（此时对应的正四棱锥有 $1$ 个），因此可以组成的不同的正四棱锥的个数为 $3\cdot (2+1)=9$．