每日一题[3084]端点分析

已知 $f(x)=a x-\dfrac{\sin x}{\cos ^{3} x}, ~x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$．

1、若 $a=8$，讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)<\sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、若 $a=8$，则 $$\begin{split} f'(x)&=8-\dfrac{\cos x\cdot \cos^3x-3 \cos^2x\cdot (-\sin x)\cdot \sin x}{\cos^6x}\\ &=8-\dfrac{3-2\cos^2x}{\cos^4x}\\ &=-\dfrac{3}{\cos^4x}+\dfrac{2}{\cos^2x}+8\\ &=\dfrac{(2\cos^2x-1)(4\cos^2x+3)}{\cos^4x},\end{split}$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减．

2、设 $g(x)=f(x)-\sin 2x$，则 $g(0)=0$，其导函数 $$g'(x)=\left(a-\dfrac{3-2\cos^2x}{\cos^4x}\right)-2(2\cos^2x-1)=a+2-4\cos^2x+\dfrac{2}{\cos^2x}-\dfrac{3}{\cos^4x},$$ 设 $h(x)=a+2-4x+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^2}$，其中 $x\in(0,1)$，则 $g'(x)=h(\cos^2x)$，有 $$h'(x)=-4-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac 6{x^3}=\dfrac{2(1-x)(3+2x+2x^2)}{x^3}>0,$$ 因此 $h(x)$ 单调递增，$g'(x)$ 单调递减，而 $g'(0)=a-3$，讨论分界点为 $a=3$．

情形一     $a\leqslant 3$．此时 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递减，结合 $g(0)=0$，符合题意．

情形二     $a>3$．此时 $h(1)>0$，且 $$h(x)=\left(a+2-\dfrac{1}{x^2}\right)-4x+\dfrac 2x\left(1-\dfrac 1x\right)<a+2-\dfrac{1}{x^2},$$ 因此当 $x<\dfrac{1}{\sqrt{a+2}}$ 时 $h(x)<0$，因此函数 $h(x)$ 在 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+2}},1\right)$ 上有唯一零点 $x_0$，进而函数 $g(x)$ 在 $\left(0,\arccos\sqrt{x_0}\right)$ 上单调递增，结合 $g(0)=0$，可得在该区间上 $g(x)>0$，不符合题意．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,3]$．