每日一题[3083]抛物线灭门人

设抛物线 $C: y^{2}=2 p x$（$p>0$），直线 $x-2 y+1=0$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $|A B|=4 \sqrt{15}$．

1、求 $p$．

2、设 $C$ 的焦点为 $F$，$M, N$ 为 $C$ 上两点，$\overrightarrow{MF} \cdot \overrightarrow{NF}=0$，求 $\triangle MNF$ 面积的最小值．

解析

1、设 $A(2pa^2,2pa)$，$B(2pb^2,2pb)$，则 $x=a,b$ 是关于 $x$ 的二次方程 $$2px^2-4px+1=0$$ 的两个根，从而 $$|AB|=4\sqrt{15}\iff 2p|a-b|\sqrt{(a+b)^2+1}=4\sqrt{15},$$ 从而 $$\sqrt{16p^2-8p}\cdot \sqrt{2^2+1}=4\sqrt{15}\iff p=2.$$

2、设 $M(4m^2,4m)$，$N(4n^2,4n)$，则 $$\overrightarrow{MF}\cdot \overrightarrow{NF}=0\iff (4m^2-1)(4n^2-1)+4m\cdot 4n=0,$$ 整理可得 $$(4mn+1)^2=4(m-n)^2,$$ 从而 $$\begin{cases} (4mn+1)^2\geqslant -16mn,\\ (4mn+1)^2\geqslant 16mn,\end{cases}\iff 4mn+1\leqslant -2-2\sqrt 2~\text{或}~4mn+1\geqslant -2+2\sqrt 2,$$ 其中等号当 $m=-n$ 时取得，而 $\triangle MNF$ 的面积 $$\begin{split} S&=\dfrac 12\left|(4m^2-1)\cdot (4n)-(4n^2-1)\cdot (4m)\right|\\ &=2\left|(4mn+1)(m-n)\right|\\ &=(4mn+1)^2\\ &\geqslant\left(-2+2\sqrt 2\right)^2\\ &=12-8\sqrt 2,\end{split}$$ 因此所求面积的最小值为 $12-8\sqrt 2$．