设抛物线 C:y2=2px(p>0),直线 x−2y+1=0 与 C 交于 A,B 两点,且 |AB|=4√15.
1、求 p.
2、设 C 的焦点为 F,M,N 为 C 上两点,→MF⋅→NF=0,求 △MNF 面积的最小值.
解析
1、设 A(2pa2,2pa),B(2pb2,2pb),则 x=a,b 是关于 x 的二次方程2px2−4px+1=0的两个根,从而|AB|=4√15⟺2p|a−b|√(a+b)2+1=4√15,从而√16p2−8p⋅√22+1=4√15⟺p=2.
2、设 M(4m2,4m),N(4n2,4n),则→MF⋅→NF=0⟺(4m2−1)(4n2−1)+4m⋅4n=0,整理可得(4mn+1)2=4(m−n)2,从而{(4mn+1)2⩾−16mn,(4mn+1)2⩾16mn,⟺4mn+1⩽−2−2√2 或 4mn+1⩾−2+2√2,其中等号当 m=−n 时取得,而 △MNF 的面积S=12|(4m2−1)⋅(4n)−(4n2−1)⋅(4m)|=2|(4mn+1)(m−n)|=(4mn+1)2⩾(−2+2√2)2=12−8√2,因此所求面积的最小值为 12−8√2.