每日一题[3083]抛物线灭门人

设抛物线 C:y2=2pxp>0),直线 x2y+1=0C 交于 A,B 两点,且 |AB|=415

1、求 p

2、设 C 的焦点为 FM,NC 上两点,MFNF=0,求 MNF 面积的最小值.

解析

1、设 A(2pa2,2pa)B(2pb2,2pb),则 x=a,b 是关于 x 的二次方程2px24px+1=0的两个根,从而|AB|=4152p|ab|(a+b)2+1=415,从而16p28p22+1=415p=2.

2、设 M(4m2,4m)N(4n2,4n),则MFNF=0(4m21)(4n21)+4m4n=0,整理可得(4mn+1)2=4(mn)2,从而{(4mn+1)216mn,(4mn+1)216mn,4mn+1222  4mn+12+22,其中等号当 m=n 时取得,而 MNF 的面积S=12|(4m21)(4n)(4n21)(4m)|=2|(4mn+1)(mn)|=(4mn+1)2(2+22)2=1282,因此所求面积的最小值为 1282

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