解答:
1、证明:当 0<x<1 时,x−x2<sinx<x.
2、已知函数 f(x)=cosax−ln(1−x2),若 x=0 是 f(x) 的极大值点,求 a 的取值范围.
解析
1、设 g(x)=x−sinx,则其导函数g′(x)=1−cosx⩾0,于是 g(x) 在 (0,1) 上单调递增,结合 g(0)=0,可得在该区间上 g(x)>0; 设 h(x)=sinx−(x−x2),则其导函数g′(x)=cosx−1+2x>2sinx+cosx−1=sinx+√1+sin2x−1>0,于是 h(x) 在 (0,1) 上单调递增,结合 h(0)=0,可得在该区间上 h(x)>0.
2、函数 f(x) 的导函数f′(x)=−asin(ax)+2x1−x2,有 f′(0)=0,其二阶导函数f″(x)=−a2cos(ax)+2(1+x2)(1−x2)2,因此 f″(0)=2−a2,讨论分界点为 |a|=√2.
情形一 |a|⩽√2.此时 f″(x) 在 (0,0.1) 上单调递增,且 f″(0)⩾0,因此在该区间上 f′(x)>0,f(x) 单调递增,与 x=0 是函数 f(x) 的极大值点不符.
情形二 |a|>√2.此时 f″(x) 在 (0,min 上单调递增,且 f''(0)< 0,考虑到f\left(\sqrt{1-\dfrac{1}{|a|}}\right)\geqslant -a^2+2a^2>0,且 f''(x) 是偶函数,于是函数 f''(x) 在 \left(0,\sqrt{1-\dfrac{1}{|a|}}\right) 上有唯一零点,设为 x_0,因此在区间 (-x_0,x_0) 上,有 f''(x)<0,从而 f'(x) 在 (-x_0,0) 上取正值,在 (0,x_0) 上取负值,此时 f(x) 在 x=0 的左侧单调递增,右侧单调递减,符合题意.
综上所述,a 的取值范围是 \left(-\infty,-\sqrt 2\right)\cup\left(\sqrt 2,+\infty\right).