每日一题[3080]极值判断

解答:

1、证明:当 0<x<1 时,xx2<sinx<x

2、已知函数 f(x)=cosaxln(1x2),若 x=0f(x) 的极大值点,求 a 的取值范围.

解析

1、设 g(x)=xsinx,则其导函数g(x)=1cosx0,于是 g(x)(0,1) 上单调递增,结合 g(0)=0,可得在该区间上 g(x)>0; 设 h(x)=sinx(xx2),则其导函数g(x)=cosx1+2x>2sinx+cosx1=sinx+1+sin2x1>0,于是 h(x)(0,1) 上单调递增,结合 h(0)=0,可得在该区间上 h(x)>0

2、函数 f(x) 的导函数f(x)=asin(ax)+2x1x2,f(0)=0,其二阶导函数f(x)=a2cos(ax)+2(1+x2)(1x2)2,因此 f(0)=2a2,讨论分界点为 |a|=2

情形一    |a|2.此时 f(x)(0,0.1) 上单调递增,且 f(0)0,因此在该区间上 f(x)>0f(x) 单调递增,与 x=0 是函数 f(x) 的极大值点不符.

情形二     |a|>2.此时 f(x)(0,min 上单调递增,且 f''(0)< 0,考虑到f\left(\sqrt{1-\dfrac{1}{|a|}}\right)\geqslant -a^2+2a^2>0,f''(x) 是偶函数,于是函数 f''(x)\left(0,\sqrt{1-\dfrac{1}{|a|}}\right) 上有唯一零点,设为 x_0,因此在区间 (-x_0,x_0) 上,有 f''(x)<0,从而 f'(x)(-x_0,0) 上取正值,在 (0,x_0) 上取负值,此时 f(x)x=0 的左侧单调递增,右侧单调递减,符合题意.

综上所述,a 的取值范围是 \left(-\infty,-\sqrt 2\right)\cup\left(\sqrt 2,+\infty\right)

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