每日一题[3079]点驱参方

已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $\left(-2\sqrt 5,0\right)$，离心率为 $\sqrt 5$．

1、求 $C$ 的方程．

2、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M,N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于点 $P$，证明：点 $P$ 在定直线上．

解析

1、根据题意，半焦距 $c=2\sqrt 5$，离心率 $e=\sqrt 5$，因此实半轴长 $a=\dfrac ce=2$，虚半轴长 $b=\sqrt{c^2-a^2}=4$，$C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}{16}=1$．

2、设双曲线的参数方程为 $\begin{cases} x=2\sec\theta,\\ y=4\tan\theta,\end{cases}$ 设 $M,N$ 点对应的参数分别为 $2\alpha,2\beta$，则根据双曲线的参数弦方程

$$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{2-(-4)}{2+(-4)}=-3,$$ 此时 $A_1(-2,0)$，$M\left(2\sec2\alpha,4\tan2\alpha\right)$，于是直线 $$MA_1:~y=2\tan\alpha(x+2),$$ 类似的，有直线 $$NA_2:~y=\dfrac{2}{\tan\beta}(x-2),$$ 因此直线 $MA_1$ 与直线 $NA_2$ 的交点横坐标为 $$t=2\cdot \dfrac{1+\tan\alpha\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=-1,$$ 因此点 $P$ 在定直线 $x=-1$ 上．