每日一题[3077]解直角三角形

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\triangle ABC$ 面积为 $\sqrt 3$，$D$ 为 $BC$ 的中点，且 $AD=1$．

1、若 $\angle ADC=\dfrac{\pi}3$，求 $\tan B$．

2、若 $b^2+c^2=8$，求 $b,c$．

解析

1、作 $AH\perp BC$ 于 $H$，如图．

由 $\angle ADC=\dfrac{\pi}3$ 以及 $AD=1$ 可得 $AH=\dfrac{\sqrt 3}2$，$DH=\dfrac 12$，于是由 $\triangle ABC$ 的面积 $S=\sqrt 3$ 可得\[\dfrac 12\cdot BC\cdot AH=\sqrt 3\iff BC=4,\]从而 $BH=\dfrac 12BC+DH=\dfrac 52$，因此\[\tan B=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}2}{\dfrac 52}=\dfrac{\sqrt 3}5.\]

2、根据题意，有

$$\begin{cases} AD=1,\\ b^2+c^2=8, S=\sqrt 3, \end{cases}\iff \begin{cases} AH^2+\left(\dfrac{BH-CH}2\right)^2=1,\\ (AH^2+BH^2)+(AH^2+CH^2)=8,\\ \dfrac 12(BH+CH)\cdot AH=\sqrt 3,\end{cases}$$ 设 $AH,BH,CH$ 分别为 $x,y,z$，则 $$\begin{cases} 4x^2+(y-z)^2=4,\\ 2x^2+y^2+z^2=8,\\ x(y+z)=2\sqrt 3,\end{cases}\iff \begin{cases} y^2+z^2=8-2x^2,\\ 2yz=4+2x^2,\\ y+z=\dfrac{2\sqrt 3}x,\end{cases}$$ 因此 $$(8-2x^2)+(4+2x^2)=\left(\dfrac{2\sqrt 3}x\right)^2,$$ 解得 $x=1$，进而 $(x,y,z)=(1,\sqrt 3,\sqrt 3)$，从而 $b=2$，$c=2$．