每日一题[3075]成分分析

若函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac bx+\dfrac c{x^2}$（$a\ne 0$）既有极大值也有极小值，则（       ）

A．$bc>0$

B．$ab>0$

C．$b^2+8ac>0$

D．$ac<0$

答案    BCD．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{ax^2-bx-2c}{x^3},$$ 因此 $f(x)$ 既有极大值也有极小值，即 $g(x)=ax^2-bx-2c$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不等实根，因此 $$\begin{cases} a\cdot g(0)>0,\\ \dfrac b{2a}>0,\\ \Delta=b^2+8ac>0,\end{cases}\iff \begin{cases} ac<0,\\ ab>0,\\ b^2+8ac>0,\end{cases}$$ 从而选项 $\boxed{B}\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确．对于选项 $\boxed{A}$，由于 $a,b$ 同号，$a,c$ 异号，因此 $b,c$ 异号，选项 $\boxed{A}$ 错误． 综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}\boxed{C}$ $\boxed{D}$．