每日一题[3074]累次求最值

在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$．

1、求 $W$ 的方程．

2、已知矩形 $ABCD$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $ABCD$ 的周长大于 $3\sqrt 3$．

解析

1、根据题意，点 $P$ 的轨迹是以 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 为焦点、$x$ 轴为准线的抛物线，其方程为 $y=x^2+\dfrac 14$．

2、不妨设 $A,B,D$ 在抛物线 $W$ 上，$C$ 不在抛物线 $W$ 上，欲证命题为

$$|AB|+|AD|> \dfrac{3\sqrt 3}2.$$ 不影响问题的证明，可以将抛物线 $W$ 看作 $y=x^2$，设 $A(a,a^2)$（$a\geqslant 0$），平移坐标系使 $A$ 为坐标原点，则新抛物线方程为 $$y'=x'^2+2ax',$$ 写为极坐标方程，为 $$\rho\sin\theta=\rho^2\cos^2\theta+2a\rho\cos\theta,$$ 即 $$\rho=\dfrac{\sin\theta-2a\cos\theta}{\cos^2\theta},$$ 欲证明结论为 $$\left|\dfrac{\sin\theta-2a\cos\theta}{\cos^2\theta}\right|+\left|\dfrac{\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)-2a\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}{\cos^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}\right|>\dfrac{3\sqrt 3}2,$$ 也即 $$\left|\dfrac{2}{\cos\theta}\cdot a-\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\right|+\left|\dfrac{2}{\sin\theta}\cdot a+\dfrac{\cos\theta}{\sin^2\theta}\right|> \dfrac{3\sqrt 3}2,$$ 不妨设 $\left|\dfrac{2}{\cos\theta}\right|\geqslant \left|\dfrac{2}{\sin\theta}\right|$，将不等式左边看成关于 $a$ 的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当 $$\dfrac{2}{\cos\theta}\cdot a-\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=0\iff a=\dfrac{\sin\theta}{2\cos\theta}$$ 时取得，因此欲证不等式即（注意等号无法取得） $$\left|\dfrac{1}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin^2\theta}\right|> \dfrac{3\sqrt 3}2\iff \left|\dfrac{1}{\cos\theta\sin^2\theta}\right|\geqslant \dfrac{3\sqrt 3}2,$$ 根据均值不等式，有 $$|\cos\theta\sin^2\theta|=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{2\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)(1-\cos^2\theta)}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac 23\right)^3}=\dfrac{2}{3\sqrt 3},$$ 等号仅当 $\cos^2\theta=\dfrac 13$ 时取得，因此原命题得证．