每日一题[3074]累次求最值

在直角坐标系 xOy 中,点 Px 轴的距离等于点 P 到点 (0,12) 的距离,记动点 P 的轨迹为 W

1、求 W 的方程.

2、已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上,证明:矩形 ABCD 的周长大于 33

解析

1、根据题意,点 P 的轨迹是以 (0,12) 为焦点、x 轴为准线的抛物线,其方程为 y=x2+14

2、不妨设 A,B,D 在抛物线 W 上,C 不在抛物线 W 上,欲证命题为|AB|+|AD|>332.不影响问题的证明,可以将抛物线 W 看作 y=x2,设 A(a,a2)a),平移坐标系使 A 为坐标原点,则新抛物线方程为y'=x'^2+2ax',写为极坐标方程,为\rho\sin\theta=\rho^2\cos^2\theta+2a\rho\cos\theta,\rho=\dfrac{\sin\theta-2a\cos\theta}{\cos^2\theta},欲证明结论为\left|\dfrac{\sin\theta-2a\cos\theta}{\cos^2\theta}\right|+\left|\dfrac{\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)-2a\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}{\cos^2\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)}\right|>\dfrac{3\sqrt 3}2,也即\left|\dfrac{2}{\cos\theta}\cdot a-\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\right|+\left|\dfrac{2}{\sin\theta}\cdot a+\dfrac{\cos\theta}{\sin^2\theta}\right|> \dfrac{3\sqrt 3}2,不妨设 \left|\dfrac{2}{\cos\theta}\right|\geqslant \left|\dfrac{2}{\sin\theta}\right|,将不等式左边看成关于 a 的函数,根据绝对值函数的性质,其最小值当\dfrac{2}{\cos\theta}\cdot a-\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=0\iff a=\dfrac{\sin\theta}{2\cos\theta}时取得,因此欲证不等式即(注意等号无法取得)\left|\dfrac{1}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin^2\theta}\right|> \dfrac{3\sqrt 3}2\iff \left|\dfrac{1}{\cos\theta\sin^2\theta}\right|\geqslant \dfrac{3\sqrt 3}2,根据均值不等式,有|\cos\theta\sin^2\theta|=\dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{2\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)(1-\cos^2\theta)}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt 2}\cdot \sqrt{\left(\dfrac 23\right)^3}=\dfrac{2}{3\sqrt 3},等号仅当 \cos^2\theta=\dfrac 13 时取得,因此原命题得证.

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