每日一题[3072]骨骼清奇

已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$．点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上，$\overrightarrow{F_1A}\perp\overrightarrow{F_1B}$，$\overrightarrow{F_2A}=-\dfrac 23\overrightarrow{F_2B}$，则 $C$ 的离心率为_______．

答案    $\dfrac{3\sqrt 5}5$．

解析    根据题意，不妨设 $a=1$，设 $|BF_1|=|BF_2|=3m$，则 $|AF_2|=2m$，$|F_1A|=2m+2$．

在直角三角形 $F_1AB$ 中，有

$$|AB|^2=|F_1A|^2+|F_1B|^2\iff (5m)^2=(2m+2)^2+(3m)^2,$$ 解得 $m=-\dfrac 13$（舍去）或 $m=1$，因此 $\cos\angle F_1AF_2=\dfrac 45$，在 $\triangle F_1AF_2$ 中应用余弦定理，可得 $$|F_1F_2|=\sqrt{|F_1A|^2+|F_2A|^2-2\cdot |F_1A|\cdot |F_2A|\cdot\cos\angle F_1AF_2}=\sqrt{16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot\dfrac 45}=\dfrac{6}{\sqrt 5},$$ 因此所求离心率为 $\dfrac{3\sqrt 5}5$．