每日一题[3070]空间管理大师

下列物体中，能够被整体放入棱长为 $1$（单位：$\rm m$）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（       ）

A．直径为 $0.99~{\rm m}$ 的球体

B．所有棱长均为 $1.4~{\rm m}$ 的四面体

C．底面直径为 $0.01~{\rm m}$，高为 $1.8~{\rm m}$ 的圆柱体

D．底面直径为 $1.2~{\rm m}$，高为 $0.01~{\rm m}$ 的圆柱体

答案    ABD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，将球体的球心与正方体的中心重合即可；

对于选项 $\boxed{B}$，将正四面体的中心与正方体的中心重合，由于正四面体补形后的外接平行六面体（为正方体）的棱长为 $\dfrac{1.4}{\sqrt 2}<1$，因此可以放置；

对于选项 $\boxed{C}$，考虑正方体的体对角线长度为 $\sqrt 3<1.8$，因此圆柱体上下底面的中心无法同时放置在正方体容器中；

对于选项 $\boxed{D}$，为了看清楚截面，我们作沿着正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的体对角线 $BD_1$ 方向的正投影，并将截面多边形的变化过程绘图如下：

考虑截面为六边形（此六边形的每个内角都是 $120^\circ$，且六条边为三条长边和三条短边，当长短边相等时为正六边形），点 $B$ 的投影到六边形的三条长边的距离恰好为 $r$ 的情形，此时长边长为 $$\left(\dfrac{\sqrt 6}3-r\right)\cdot \sqrt 6\cdot \sqrt 2=2\sqrt 2-2\sqrt 3r,$$ 短边长为 $2\sqrt 3r-\sqrt 2$，在底面 $ABCD$ 上这两条边的距离为 $$\dfrac 12\left(\left(2\sqrt 2-2\sqrt 3r\right)-\left(2\sqrt 3r-\sqrt 2\right)\right)=\dfrac32\sqrt 2-2\sqrt 3r,$$ 因此对应截面之间的距离为 $$\left(\dfrac 32\sqrt 2-2\sqrt 3r\right)\cdot \cos\angle DBD_1=\left(\dfrac 32\sqrt 2-2\sqrt 3r\right)\cdot\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\sqrt 3-2\sqrt 2r,$$ 所以当底面直径为 $1.2$ 时，可以放置高为 $$\sqrt 3-2\sqrt 2\cdot 0.6=0.035\cdots$$ 的圆柱体．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．