已知 n(n⩾4)个数 x1,x2,⋯,xn,求证:同时去掉其中的最小数和最大数后,剩下的 n−2 个数的方差不大于原来 n 个数的方差.
解析 不妨设 x1⩽x2⩽⋯⩽xn,且 x1+x2+⋯+xn=0,接下来证明n∑k=1x2k⩽n2(x21+x2n).
当 x1=xn 时,命题显然成立.
当 x1≠xn 时,有 x1<0<xn.由抛物线 y=x2 的凹凸性可知点 (xk,x2k) 在割线 AB(其中 A(x1,x21),B(xn,x2n))下方(或直线上),于是x2k⩽(x1+xn)xk−x1xn,k=1,2,⋯,n,
进而n∑k=1x2k⩽(x1+xn)n∑k=1xk−nx1xn=−nx1xn⩽n⋅x21+x2n2,
等号当 xk∈{x1,xn} 且 x1+xn=0 时取得.
这样一来,设剩下的 n−2 个数的均值为 ¯x,则其方差为1n−2n−1∑k=2(xk−¯x)=1n−2(n−1∑k=2x2k−(n−2)¯x2)⩽1n−2n−1∑k=2x2k=1n−2(n∑k=1x2k−x21−x2n)⩽1n−2(n∑k=1x2k−2nn∑k=1x2k)=1nn∑k=1x2k,
也即剩下数的方差不大于原来 n 个数的方差.
综上所述,原命题得证,且当 n 为奇数时,取等条件为所有数均相等;当 n 为偶数时,取等条件为一半数为最大数另一半数为最小数.
怎么打不开