每日一题[3069]去头去尾

已知 nn4)个数 x1,x2,,xn,求证:同时去掉其中的最小数和最大数后,剩下的 n2 个数的方差不大于原来 n 个数的方差.

解析    不妨设 x1x2xn,且 x1+x2++xn=0,接下来证明nk=1x2kn2(x21+x2n).

x1=xn 时,命题显然成立.

x1xn 时,有 x1<0<xn.由抛物线 y=x2 的凹凸性可知点 (xk,x2k) 在割线 AB(其中 A(x1,x21),B(xn,x2n))下方(或直线上),于是x2k(x1+xn)xkx1xn,k=1,2,,n,

进而nk=1x2k(x1+xn)nk=1xknx1xn=nx1xnnx21+x2n2,
等号当 xk{x1,xn}x1+xn=0 时取得.

这样一来,设剩下的 n2 个数的均值为 ¯x,则其方差为1n2n1k=2(xk¯x)=1n2(n1k=2x2k(n2)¯x2)1n2n1k=2x2k=1n2(nk=1x2kx21x2n)1n2(nk=1x2k2nnk=1x2k)=1nnk=1x2k,

也即剩下数的方差不大于原来 n 个数的方差.

综上所述,原命题得证,且当 n 为奇数时,取等条件为所有数均相等;当 n 为偶数时,取等条件为一半数为最大数另一半数为最小数.

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每日一题[3069]去头去尾》有一条回应

  1. xywsz123说:

    怎么打不开

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